当一件物品被取出而不放回时，袋中的内容会改变，所以第二个概率必须使用新的数量。先写出第一个分数，再重新数一遍剩下的，然后才写第二个分数。
怎样更新第二步？
- 数出起始数量。 记下每种物品的数量和总数。
- 写出第一步的分数，依据这些数量。
- 在每条分支上，去掉被取走的那一个。 该种类减 1，总数也减 1。
- 写出第二步的分数，依据新的数量，一条分支一条分支地写。
- 沿路径相乘，把需要的路径相加，并检查所有路径之和是否为 1。
例题详解
一个袋子里有 5 个红球和 3 个绿球。先后取出两个，不放回。求 (a) P(两个红球)，(b) P(两个颜色不同)。
第一步，第一次抽取。 P(R) = 5/8，P(G) = 3/8。
第二步，第二次抽取。
- R 之后：剩下 4 红 3 绿，共 7 个。P(R) = 4/7，P(G) = 3/7。
- G 之后：剩下 5 红 2 绿，共 7 个。P(R) = 5/7，P(G) = 2/7。
第三步，各路径。
| 路径 | 算式 | 概率 |
|---|---|---|
| R 再 R | 5/8 × 4/7 | 20/56 |
| R 再 G | 5/8 × 3/7 | 15/56 |
| G 再 R | 3/8 × 5/7 | 15/56 |
| G 再 G | 3/8 × 2/7 | 6/56 |
第四步，检查。 20 + 15 + 15 + 6 = 56，所以总和是 56/56 = 1。
第五步，(a)。 P(两个红球) = 20/56 = 5/14。
第六步，(b)。 颜色不同是 R 再 G 或 G 再 R：15/56 + 15/56 = 30/56 = 15/28。
检验 (b)。 P(颜色相同) = 20/56 + 6/56 = 26/56，而 1 − 26/56 = 30/56。两种方法一致。
要留意的错误
把第一步的分数照抄到第二步。
错误做法： P(两个红球) = 5/8 × 5/8 = 25/64。
这把“8 个球中有 5 个红球”用了两次，好像第一个球被放回去了。
改正。 一个红球已经离开袋子，所以剩下 7 个球中有 4 个红球。答案是 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14。注意 25/64 约为 0.39，而 5/14 约为 0.36。两者相差不大，所以如果不重新数，这个错误很容易被忽略。
一个快速的检查：第二步的分母总是比第一步少 1，同种颜色的分子也少 1。如果两步的分母相同，你很可能忘了去掉被取走的那个。
自我检测
先自己做，再打开答案。
1. 一个盒子里有 4 颗牛奶巧克力和 6 颗黑巧克力。不放回地取两颗。求 P(两颗都是黑巧克力)。
查看答案
第一颗是黑巧克力：6/10。然后剩下 9 颗中有 5 颗黑巧克力。P = 6/10 × 5/9 = 30/90 = 1/3。
2. 用同一个盒子，求 P(一颗牛奶、一颗黑巧克力，顺序不限)。
查看答案
先牛奶后黑：4/10 × 6/9 = 24/90。先黑后牛奶：6/10 × 4/9 = 24/90。相加：48/90 = 8/15。检验：两颗牛奶是 4/10 × 3/9 = 12/90，而 12 + 30 + 48 = 90，所以总和为 1。
3. 一个袋子里有 3 个红球和 2 个蓝球。不放回地取两个。求 P(至少一个蓝球)。
查看答案
对立事件是两个都是红球：3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10。所以 P(至少一个蓝球) = 1 − 3/10 = 7/10。用路径检验：红蓝 6/20 + 蓝红 6/20 + 蓝蓝 2/20 = 14/20 = 7/10。
下一步
任何树状图的最后一步，是确认所有结果加起来等于一，这正是检查结果模型总和是否为一的重点。概率树状图与计数板让你在放回与不放回之间切换，并观察第二步分数如何变化。无计算器运算训练有助于保持分数精确。
如果你理解这个概念，却总在数量上出错，数学线上一对一补习能让老师看到“重新数一遍”这一步在哪里不见了。