这套练习有十一道原创题，由易到难排列，涵盖概率推理的五节课。第 1 至 3 题是关于结果的热身，第 4 至 8 题需要完整的方法，第 9 至 11 题综合多项技能，并要求用第二种方法检验。
分数请化为最简形式，小数请给出精确值。凡是两步的题目都要画树状图，并在每个答案后做总和检查。概率树状图与计数板和无计算器运算训练是有用的伙伴，错题记录与重测队列则可以用来记录哪里出了问题。
题目
1. 十张卡片编号 1 至 10，随机选一张。求 P(4 的倍数或质数)。
查看答案
4 的倍数：{4, 8}。质数：{2, 3, 5, 7}。两个列表没有共同的数，所以事件互斥。符合的卡片有 6 张，所以 P = 6/10 = 3/5。
2. 一个袋子里有红、蓝、绿、黄四种颜色的球。P(红) = 0.15，P(蓝) = 0.4，P(绿) = 0.25。求 P(黄) 和 P(不是蓝)。
查看答案
已知总和：0.15 + 0.4 + 0.25 = 0.8，所以 P(黄) = 1 − 0.8 = 0.2。P(不是蓝) = 1 − 0.4 = 0.6。检验：0.15 + 0.25 + 0.2 = 0.6。
3. 掷一颗公平骰子。求 P(偶数或 12 的因数)。
查看答案
偶数：{2, 4, 6}。骰子上 12 的因数：{1, 2, 3, 4, 6}。两个集合重叠，所以列出不重复的结果：{1, 2, 3, 4, 6}。共 5 个结果，所以 P = 5/6。如果直接算 3/6 + 5/6 会大于 1，这是不可能的。
4. 一名足球运动员每次罚点球的进球概率是 0.7，每次互相独立。她罚两次。求 P(两次都进)、P(恰好一次进) 和 P(至少一次进)。
查看答案
两次都进：0.7 × 0.7 = 0.49。恰好一次：0.7 × 0.3 + 0.3 × 0.7 = 0.21 + 0.21 = 0.42。都不进：0.3 × 0.3 = 0.09，所以至少一次进 = 1 − 0.09 = 0.91。检验：0.49 + 0.42 + 0.09 = 1。
5. 60 名学生中，36 人骑脚车上学 (C)，25 人戴眼镜 (G)，18 人两者都有。C 和 G 独立吗？请写出过程。
查看答案
P(C) = 36/60 = 3/5，P(G) = 25/60 = 5/12。乘积：3/5 × 5/12 = 15/60 = 1/4 = 0.25。P(C 且 G) = 18/60 = 3/10 = 0.3。因为 0.25 ≠ 0.3，这两个事件不独立。
6. 一个盒子里有 4 支蓝笔和 2 支黑笔。不放回地取两支。求 P(两支都是蓝笔) 和 P(一支蓝一支黑)。
查看答案
两支蓝：4/6 × 3/5 = 12/30 = 2/5。两支黑：2/6 × 1/5 = 2/30 = 1/15。一支蓝一支黑 = 1 − 2/5 − 1/15 = 15/15 − 6/15 − 1/15 = 8/15。第二种方法：4/6 × 2/5 + 2/6 × 4/5 = 8/30 + 8/30 = 16/30 = 8/15。
7. 一个结果模型有四个结果，概率分别是 x、2x、0.1 和 0.3。求 x 以及结果 2x 的概率。
查看答案
x + 2x + 0.1 + 0.3 = 1，所以 3x + 0.4 = 1，3x = 0.6，得 x = 0.2。结果 2x 的概率是 0.4。检验：0.2 + 0.4 + 0.1 + 0.3 = 1.0。
8. 一个转盘停在蓝色的概率是 2/5。一名学生写下 P(蓝，再蓝) = 2/5 + 2/5 = 4/5。请说明错误并求出正确的值。
查看答案
“蓝再蓝”要求两次都是蓝色，所以概率应该相乘，而不是相加。另外，4/5 比任何单个概率都大，这也说明有错。正确的值：2/5 × 2/5 = 4/25（= 0.16），假设两次转动互相独立。
9. 一个袋子里有 3 颗红糖、4 颗绿糖和 3 颗黄糖。不放回地取两颗。求 P(两颗颜色相同) 和 P(至少一颗绿糖)。
查看答案
颜色相同：红红 = 3/10 × 2/9 = 6/90，绿绿 = 4/10 × 3/9 = 12/90，黄黄 = 3/10 × 2/9 = 6/90。总和 24/90 = 4/15。至少一颗绿糖 = 1 − P(没有绿糖)。没有绿糖：6/10 × 5/9 = 30/90。所以 1 − 30/90 = 60/90 = 2/3。直接检验：先绿 36/90，加上先非绿后绿 24/90，等于 60/90。
10. 今天下雨的概率是 0.3。如果今天下雨，明天下雨的概率是 0.6。如果今天不下雨，明天下雨的概率是 0.2。求 P(两天都下雨) 和 P(明天下雨)。
查看答案
两天都下雨：0.3 × 0.6 = 0.18。明天下雨有两种情况：今天下雨再下雨 (0.18)，或今天不下雨而明天下雨 (0.7 × 0.2 = 0.14)。相加：0.18 + 0.14 = 0.32。检验：P(明天不下雨) = 0.3 × 0.4 + 0.7 × 0.8 = 0.12 + 0.56 = 0.68，而 0.32 + 0.68 = 1。这两个事件相关，所以第二步使用不同的分支数值。
11. 一名射箭选手每次射击命中靶的概率是 0.6，各次互相独立。她射三箭。求 P(至少命中一次) 和 P(恰好命中一次)。
查看答案
一次都没中：0.4 × 0.4 × 0.4 = 0.064，所以至少命中一次 = 1 − 0.064 = 0.936。恰好命中一次有 3 种情况（第一、第二或第三箭）：每种概率为 0.6 × 0.4 × 0.4 = 0.096。相加：3 × 0.096 = 0.288。用其余情况检验：命中两次 3 × 0.6 × 0.6 × 0.4 = 0.432，命中三次 0.216。于是 0.064 + 0.288 + 0.432 + 0.216 = 1.000。
如果你做错了
| 哪里出了问题 | 回到哪一课 |
|---|---|
| 把重叠的概率相加，或漏掉结果（第 1 至 3 题） | 用互斥结果表示事件 |
| 沿分支相加，或在替代路径之间相乘（第 4、8、11 题） | 使用两步概率树状图 |
| 没有检验独立性就相乘，或无法说明理由（第 5、10 题） | 说明乘法为什么需要独立性 |
| 第二次抽取仍用相同的分数（第 6、9 题） | 物品不放回后更新概率 |
| 答案总和不是 1，或缺失的值算错（第 2、7 题） | 检查结果模型的总和是否为一 |
先把那一课学好，几天后再做一道同类型的新题。把错误类型记在错题记录与重测队列里，让重测有目的地进行。
如果读过课程后同样的错误还是出现，数学线上一对一补习可以让老师阅读你的书面解答，找出总是滑脱的那一步。