两步树状图按先后顺序列出两个事件的所有结果。沿每条路径相乘，再把得到所求结果的路径相加。 IGCSE 中关于重复试验、两次抽取和连续两天天气的题目，都是这样组织的。
它直接建立在列出互斥结果之上，因为每一组分支都必须把该步骤的每个结果恰好包含一次。
树状图怎样画？
- 第一步。 为第一个事件的每个结果画一条分支，并标上概率。
- 第二步。 从每条第一步分支的末端，为第二个事件画出完整的一组分支。
- 检查每个分叉。 从同一点出发的分支概率之和必须为 1。
- 在末端写出路径概率，方法是沿路径相乘。
- 选出需要的路径，把它们的概率相加，并检查所有末端概率之和是否为 1。
例题详解
亚当连续两天早上搭校车。每天早上校车准时的概率是 0.8，迟到的概率是 0.2，两天互相独立。
求 (a) 两天都准时的概率，(b) 恰好一次迟到的概率，(c) 至少一次迟到的概率。
第一步，画树状图。 第一天：准时 O (0.8) 或迟到 L (0.2)。从每一个出发，第二天：O (0.8) 或 L (0.2)。
| 路径 | 算式 | 概率 |
|---|---|---|
| O 再 O | 0.8 × 0.8 | 0.64 |
| O 再 L | 0.8 × 0.2 | 0.16 |
| L 再 O | 0.2 × 0.8 | 0.16 |
| L 再 L | 0.2 × 0.2 | 0.04 |
第二步，检查总和。 0.64 + 0.16 + 0.16 + 0.04 = 1.00，所以树状图是自洽的。
第三步，(a)。 P(两天都准时) = 0.64。
第四步，(b)。 “恰好一次迟到”是 O 再 L 或 L 再 O。相加：0.16 + 0.16 = 0.32。
第五步，(c)。 “至少一次迟到”就是除了 O 再 O 以外的所有情况。P = 1 − 0.64 = 0.36。
用第二种方法检验 (c)。 把含有迟到的三条路径相加：0.16 + 0.16 + 0.04 = 0.36。两种方法一致。
要留意的错误
沿着路径把概率相加，而不是相乘。
错误做法： P(先准时，再迟到) = 0.8 + 0.2 = 1。
概率为 1 表示一定发生，但迟到是有可能的，所以这不可能对。
改正。 “第一天准时且第二天迟到”要求两件事都发生，所以要相乘：0.8 × 0.2 = 0.16。
反过来的错误是在不同路径之间相乘。求“恰好一次迟到”时，算 0.16 × 0.16 得 0.0256，小得不合理。替代的情况相加，连续的步骤相乘。
一个有用的合理性检查：“且”的答案应该比每个单独的概率小，而“或”的答案应该比它包含的每条路径大。
自我检测
先自己做，再打开答案。
1. 一枚不均匀的硬币，P(正面) = 0.6，P(反面) = 0.4，掷两次。求 P(两次正面) 和 P(一正一反)。
查看答案
两次正面：0.6 × 0.6 = 0.36。正反：0.6 × 0.4 = 0.24，反正：0.4 × 0.6 = 0.24，所以一正一反是 0.24 + 0.24 = 0.48。用两次反面 0.16 检验：0.36 + 0.48 + 0.16 = 1。
2. 一个袋子里有 2 个红球和 3 个蓝球。取出一个，记下颜色后放回，再取第二个。求 P(两次颜色相同)。
查看答案
因为放回，每次都是 P(红) = 2/5，P(蓝) = 3/5。两次红：2/5 × 2/5 = 4/25。两次蓝：3/5 × 3/5 = 9/25。相加：4/25 + 9/25 = 13/25。
3. 通过一次测验的概率是 0.7。两次测验互相独立。求 P(至少通过一次)。
查看答案
对立事件是两次都没通过：0.3 × 0.3 = 0.09。所以 P(至少通过一次) = 1 − 0.09 = 0.91。用路径检验：通过通过 0.49 + 通过不过 0.21 + 不过通过 0.21 = 0.91。
下一步
上面树状图第二步的分支概率保持不变，是因为事件相互独立。接下来请看什么时候乘法需要独立性，然后是不放回时第二步如何改变。概率树状图与计数板可以让你建立树状图并查看总和，无计算器运算训练则帮助你处理分数。
如果看别人画树状图时很清楚，面对陌生情境却无从下手，这正是适合带到数学线上一对一补习的问题。