概率树与计数板让你往袋中放入带标签的筹码，选择抽取次数，然后看到每条路径及其概率（用精确分数表示）。它还会把所有路径加起来，方便你检查总和。
你可以用它看清：筹码不放回时，第二个分支为什么会变。
怎么使用？
- 在袋中内容里，用逗号分隔写出“标签:数量”，例如 红:3, 蓝:2。最多 5 个标签，数量要是整数。
- 选择抽取次数：1、2 或 3。
- 选择每次抽取后：不放回筹码，或放回筹码。
- 在事件下，输入你关心的标签以及它出现的次数，例如 红 和 2。
- 按生成概率树。按重置回到示例。
怎么读结果？
第一行给出你的事件的概率，例如 P(恰好 2 次 红) = 3/10，并列出属于该事件的路径。
概率树显示每个分支及其分数。结果表列出每条路径、得出它的乘法，以及它的概率。属于你的事件的路径会被标出底色。
表格下方的总概率检查把所有路径相加，结果应为 1。不放回抽取时，条件变化的说明会指出第二个分数与第一个有什么不同。
示例演算
示例是 3 个红筹码、2 个蓝筹码，抽 2 次，不放回，事件是“恰好 2 次 红”。
| 路径 | 计算 | 概率 |
|---|---|---|
| 红 → 红 | 3/5 × 1/2 | 3/10 |
| 红 → 蓝 | 3/5 × 1/2 | 3/10 |
| 蓝 → 红 | 2/5 × 3/4 | 3/10 |
| 蓝 → 蓝 | 2/5 × 1/4 | 1/10 |
工具在计算中把 2/4 约成 1/2。只有第一条路径有两个红，所以 P(恰好 2 次 红) = 3/10。四条路径相加：3/10 + 3/10 + 3/10 + 1/10 = 1。
条件变化的说明讲到关键：取走一个红后，袋中剩 4 个筹码、其中 2 个红，所以下一次抽到红的概率是 1/2，不是 3/5。
现在把最后一个选项改成放回筹码。袋子每次都恢复原状，所以每个分支重复 3/5 和 2/5。四条路径变成 9/25、6/25、6/25 和 4/25，总和同样是 1。
再把事件改成“恰好 1 次 红”：两条混合路径给出 6/25 + 6/25 = 12/25。不放回时，同一事件是 3/10 + 3/10 = 3/5，可见这个选择会改变答案。
有哪些假设和限制？
- 每个筹码被抽中的机会均等。工具模拟的是理想的袋子。
- 数量必须是零或正整数。负数或小数会被拒绝并给出提示。
- 标签必须互不相同，最多 5 个。
- 不放回时，抽取的筹码不能多于袋中的筹码。
- 遗传方格只是模型，不是个人遗传建议。
哪些课程讲解了背后的道理？
- 表示互斥的结果说明什么是路径和结果。
- 使用两阶段概率树教你手动画树。
- 说明何时相乘需要独立性解释放回时的树为什么重复乘同样的分数。
- 不放回后更新概率讲解工具所指出的条件变化。