只有当 A 和 B **独立（independent）**时，才能用 P(A) × P(B) 得到 P(A 且 B)：知道其中一个发生，不会改变另一个的机会。如果事件之间有关联，乘积就会给出错误的答案，第二个概率必须调整。
这一课介于使用树状图（当时假设了独立）和不放回地取出物品（独立性不再成立）之间。
独立到底是什么意思？
独立的意思是：不论 A 有没有发生，B 的概率都一样。先掷硬币再掷骰子是独立的，骰子不会“知道”硬币的结果。
相关（dependent）的事件则互有牵连。抽出一张牌并留在手里，会改变牌堆里剩下的牌。
今天下雨，也可能让明天下雨的机会变大。这两种情况下，第二个概率都取决于第一个结果。
怎样用数字检验独立性？
使用这条规则：A 和 B 独立，当且仅当 P(A 且 B) = P(A) × P(B)。
- 求 P(A) 和 P(B)。
- 从数据求出 P(A 且 B)。
- 计算 P(A) × P(B)。
- 比较。相等表示独立，不相等表示相关。
例题详解
一个班有 40 名学生，16 人踢足球 (F)，25 人戴眼镜 (G)，10 人两者都有。随机选一名学生。F 和 G 独立吗？
第一步。 P(F) = 16/40 = 2/5 = 0.4。
第二步。 P(G) = 25/40 = 5/8 = 0.625。
第三步。 P(F 且 G) = 10/40 = 0.25。
第四步，比较。 P(F) × P(G) = 0.4 × 0.625 = 0.25。
第五步，下结论。 因为 0.4 × 0.625 = 0.25 = P(F 且 G)，这两个事件独立。在这个班里，踢足球并不会改变戴眼镜的机会。
检验。 16 名踢足球的学生中有 10 人戴眼镜，也就是 10/16 = 0.625。这等于 P(G)，证实知道一个学生踢足球，并不会改变戴眼镜的概率。
要留意的错误
在事件相关时仍然相乘。
错误做法： P(星期一下雨) = 0.4，P(星期二下雨) = 0.4，所以 P(两天都下雨) = 0.4 × 0.4 = 0.16。
连续两天的天气是有关联的，所以这是没有检验就假设了独立。
改正。 假设预报还说明：如果星期一下雨，星期二下雨的概率是 0.7。那么 P(两天都下雨) = 0.4 × 0.7 = 0.28。第二个因数必须是“已知星期一下雨时”星期二下雨的概率，而不是整体的 0.4。
考试时要写明为什么相乘：“事件独立”（题目已给出），或者展示检验过程。只有题目支持时，“独立”这个词才能拿到方法分。
自我检测
先自己做，再打开答案。
1. P(A) = 0.5，P(B) = 0.4，P(A 且 B) = 0.2。A 和 B 独立吗？
查看答案
P(A) × P(B) = 0.5 × 0.4 = 0.2，等于 P(A 且 B)。所以独立。
2. P(A) = 0.6，P(B) = 0.5，P(A 且 B) = 0.4。A 和 B 独立吗？
查看答案
P(A) × P(B) = 0.6 × 0.5 = 0.3，但 P(A 且 B) = 0.4。两者不同，所以这两个事件不独立，即相关。
3. A 和 B 独立，P(A) = 0.3，P(B) = 0.5。求 P(A 且 B) 和 P(A 或 B)。
查看答案
P(A 且 B) = 0.3 × 0.5 = 0.15。P(A 或 B) = P(A) + P(B) − P(A 且 B) = 0.3 + 0.5 − 0.15 = 0.65。需要减去 0.15，是因为 A 和 B 可以同时发生。
下一步
独立性让分支概率从一步到下一步保持不变。当它不成立时，数字就必须改变，这就是物品不放回时如何更新概率的内容。无计算器运算训练可以检查分数运算，百分数基准探索器则展示为什么对改变后的基数取百分数会得到不同的答案。
有些学生乘法算对了，却漏写推理，结果丢掉说明分。数学线上一对一补习可以专门练习这类书面说明。