为什么所有结果的概率加起来必须是 1？

每次试验必定有一个结果发生，而且这些结果互不重叠。所以它们的概率之和代表必然发生，也就是 1。如果总和大于 1 或小于 1，就是有结果遗漏、重复，或者数值算错了。

还有哪些检查可以看出概率是错的？

概率必须介于 0 和 1 之间（含 0 和 1），不能是负数，也不能大于 1。在树状图上，从同一点出发的每一组分支之和也必须是 1。任何超出这些范围的答案都需要重新计算。

可以。先换成同一种形式。百分数之和应为 100%，分数之和应为 1。对于分数，相加前先通分，例如 2/5、1/4 和 1/10 变成 8/20、5/20 和 2/20。

在有效的模型中，所有可能结果的概率之和恰好是 1。如果不是，就是有结果遗漏、重复或算错了。 总和检查是在交卷前发现错误的最快办法。

这一课把互斥结果和树状图结合起来，也是概率推理中的最后一道检查。

必须同时满足三个条件。

同样的想法还能求出缺失的概率：用 1 减去已知的概率。

一个游戏有四种结果 A、B、C 和 D。已知 P(A) = 2/5，P(B) = 1/4，P(D) = 1/10，P(C) 未知。求 P(C)，再求 P(B 或 C)。

第一步，通分。 分母是 5、4 和 10，所以用 20。于是 2/5 = 8/20，1/4 = 5/20，1/10 = 2/20。

第二步，把已知的相加。 8/20 + 5/20 + 2/20 = 15/20。

第三步，用 1 减去。 P(C) = 20/20 − 15/20 = 5/20 = 1/4。

第四步，(B 或 C)。 B 和 C 互斥，所以 P(B 或 C) = 5/20 + 5/20 = 10/20 = 1/2。

检验。 8/20 + 5/20 + 5/20 + 2/20 = 20/20 = 1。补全后的模型是有效的。

因为每个数值单独看都合理，就接受整个模型。

一名学生为一颗不均匀的骰子建立模型：P(1) = 0.1，P(2) = 0.2，P(3) = 0.3，P(4) = 0.2，P(5) = 0.1，P(6) = 0.2。

错误做法： “每个概率都在 0 和 1 之间，所以模型没问题。”

介于 0 和 1 之间是必要条件，但光有这一点并不等于模型有效。

改正。 把它们加起来：0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.2 + 0.1 + 0.2 = 1.1。总和大于 1，所以这个模型无效，至少有一个数值太大了。

总和检查也能抓出树状图里的错误。如果某个结果之后的分支是 0.7 和 0.2，加起来只有 0.9，其中一条分支还差 0.1。一个快速的习惯是：画每个分叉时就顺手加一下。

先自己做，再打开答案。

1. 一支球队的比赛结果中 P(赢) = 0.45，P(平) = 0.25，除了输以外没有其他结果。求 P(输)。

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P(输) = 1 − 0.45 − 0.25 = 0.30。检验：0.45 + 0.25 + 0.30 = 1.00。

2. 树状图上第一条分支是 P(R) = 0.4。R 之后第二步的分支是 0.7 和 0.2。哪里有问题？应该满足什么条件？

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从同一点出发的第二步分支之和必须是 1，但 0.7 + 0.2 = 0.9。其中一条分支还差 0.1（应该是 0.8 和 0.2，或 0.7 和 0.3）。具体怎么改，要看题目给出的信息。

3. 四个结果的概率分别是 3x、2x、x 和 4x。求 x，以及 4x 对应结果的概率。

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3x + 2x + x + 4x = 10x = 1，所以 x = 0.1。4x 对应的结果概率是 0.4。这四个概率分别是 0.3、0.2、0.1 和 0.4，总和为 1。

现在请在概率推理练习题组中把五项技能结合起来，每道题都有完整解答。概率树状图与计数板会显示你所建树状图的总和，无计算器运算训练则练习上面这类精确的分数求和。

总和检查只需几秒钟，却是最常被跳过的一步。如果你希望老师帮你把它变成习惯，数学线上一对一补习是其中一种方式。