导数衡量一个量相对于另一个量变化得多快。当题目把 y 写成 t 的函数时，dy/dt 就是 y 相对于时间的变化率，在指定 t 处的值告诉你 y 在那一刻变化得多快。
这一课接在用正确的倒数符号求法线之后，属于切线、法线与变化率，会用到求导技巧中的规则。
怎样把变化率问题变成微积分？
- 找出在变化的量，例如体积 V。
- 找出它所依赖的变量，通常是时间 t。
- 对 t 求导，得到 dV/dt。
- 代入题目给的时间。
- 写上单位；如果题目要求解释，再写一句简短的话。
“在……的时刻”或“当 t = 5 时”指向导数的值。“在 t = 0 和 t = 5 之间”则指向平均值，要用差来计算。
例题详解
水流入一个水箱。t 分钟后的体积是 V = 40t − t² 升，0 ≤ t ≤ 20。求 t = 5 时体积增加的速率，并与最初 5 分钟的平均速率比较。
第一步，求导： dV/dt = 40 − 2t。
第二步，代入 t = 5： dV/dt = 40 − 10 = 30。
t = 5 时体积以每分钟 30 升的速率增加。
第三步，平均速率： V(0) = 0，V(5) = 200 − 25 = 175。平均速率 = 175 ÷ 5 = 每分钟 35 升。
平均值（35）比 t = 5 时的速率（30）大，因为水箱随着时间推移注水越来越慢。
要留意的错误
常见的错误是用 V 除以 t，再把它当作瞬时变化率。
错误演算： V(5) = 175，所以速率是 175 ÷ 5 = 每分钟 35 升。
这是 5 分钟内的平均速率，不是 t = 5 时的速率。
改正的方法是开始前先问：“是某一瞬间，还是一段时间？”某一瞬间就求导再代入；一段时间就用数值的差除以所用时间。
自我检测
先试做，再打开答案。
1. 一块扩散的污渍面积为 A = 3t² + 2t cm²，t 以秒计。求 t = 4 时的 dA/dt。
查看答案
dA/dt = 6t + 2。t = 4 时：24 + 2 = 每秒 26 cm²。
2. 某种群数量模型为 P = 1000 + 50t − 2t²，t 以年计。求 t = 10 时 P 的变化率。
查看答案
dP/dt = 50 − 4t。t = 10 时：50 − 40 = 每年 10。数量仍在增长，但增长很慢。
3. 对 y = t³ − 6t² + 5，求使 y 的变化率为零的 t 值。
查看答案
dy/dt = 3t² − 12t = 3t(t − 4)。令它等于零，得 t = 0 或 t = 4。检查：3(0)(−4) = 0，3(4)(0) = 0。✓
下一步
两个量常常同时变化，所以接着学习用相关变化率模型联系两个变化的量。在混合练习题组中练习。无计算器运算训练帮助你做好运算，二次函数结构探索器能帮你从图像读出转折点。
如果应用题是你失分的地方，可以让附加数学线上一对一补习的老师陪你逐题重做以前的错题，练习每次先问“要对什么求导”。