我怎样决定用哪条公式？

选出把题目中两个量联系起来的公式，例如面积与半径用 A = πr²，立方体用 V = x³。求导之前先把公式写下来。正确的公式刚好包含题目提到的那两个量。

什么时候才代入数字？

先求导，保留变量，之后才代入指定时刻的值。如果在求导前就把 r = 5 代入 A = πr²，公式就变成常数，它的导数会变成零。

相关变化率（related rates）题把两个都随时间变化的量联系起来。你知道其中一个量变化得多快，要求另一个量的速率。工具是链式法则：dy/dt = dy/dx × dx/dt。

例如，要求 dA/dt 而已知 dr/dt，就用 dA/dt = dA/dr × dr/dt。

一片油渍呈圆形，半径以每秒 2 cm 增长。求半径为 5 cm 时，面积增加的速率。

第一步，命名： A 是面积，r 是半径。已知 dr/dt = 2，要求 r = 5 时的 dA/dt。

第二步，公式： A = πr²。

第三步，求导： dA/dr = 2πr。

第四步，链式法则： dA/dt = dA/dr × dr/dt = 2πr × 2 = 4πr。

第五步，代入 r = 5： dA/dt = 4π × 5 = 20π ≈ 62.8。

面积以每秒 20π cm²（约每秒 62.8 cm²）的速率增加。

检查： 单位是 cm² 每秒，符合面积对时间的变化率。✓

常见的失误是对公式求导之后就停下，把 dA/dr 当作答案。

错误演算： A = πr²，所以 dA/dr = 2πr。r = 5 时速率是 10π。

这是面积相对于半径的变化率，单位是 cm² 每 cm。题目要的是相对于时间的速率。

改正的方法是先写下目标“dA/dt”，再看分母。如果你答案的分母是 r，就说明还漏了 dr/dt 这个因子。

先试做，再打开答案。

1. 立方体的边长 x cm 以每秒 3 cm 增长。求 x = 4 时体积增加的速率。

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V = x³，所以 dV/dx = 3x²。dV/dt = 3x² × 3 = 9x²。x = 4 时：9 × 16 = 每秒 144 cm³。

2. 球的体积 V = (4/3)πr³，体积以每秒 12π cm³ 增加。求 r = 3 时半径增加的速率。

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dV/dr = 4πr²。r = 3 时是 36π。因为 dV/dt = dV/dr × dr/dt，所以 12π = 36π × dr/dt，得 dr/dt = 每秒 1/3 cm。

3. 一点沿曲线 y = x² + 1 移动，x 以每秒 0.5 单位增加。x = 3 时 y 变化得多快？

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x = 3 时 dy/dx = 2x = 6。dy/dt = 6 × 0.5 = 每秒 3 单位。

链式法则变得自然之后，用解释变化率符号的含义完成本章，再用混合练习题组检验自己。无计算器运算训练帮助你处理含 π 的精确答案，当变化率条件变成二次方程时，二次函数结构探索器也很有用。

懂得链式法则的学生，仍可能在选公式时卡住。附加数学线上一对一补习的老师看你的草稿，就能看出你的设置从哪一步开始偏了。