切线、法线与变化率练习

这十一道题涵盖整个章节：切线与法线方程、变化率、相关变化率和符号的解释。全部是原创题，由易到难排列，使用切线、法线与变化率中教的方法。

打开答案之前，先在纸上写出完整解答。除了最终数值，也要比较方法，并把出错的地方记在错题记录里。

切线与法线

第 1 题。 求曲线 y = x² − 2x + 3 在 x = 3 处的切线方程。

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y = 9 − 6 + 3 = 6，点是 (3, 6)。dy/dx = 2x − 2，所以 m = 4。

y − 6 = 4(x − 3)，所以 y = 4x − 6。检查：4(3) − 6 = 6。✓

第 2 题。 求同一曲线在 x = 3 处的法线方程，写成 ax + by + c = 0。

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切线斜率是 4，所以法线斜率是 −1/4。

y − 6 = −(1/4)(x − 3)。两边乘 4：4y − 24 = −x + 3，所以 x + 4y − 27 = 0。检查：3 + 24 − 27 = 0。✓

第 3 题。 对 y = x³ − 3x²，求 x = 1 处的切线与法线。

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y = 1 − 3 = −2，点是 (1, −2)。dy/dx = 3x² − 6x = 3 − 6 = −3。

切线：y + 2 = −3(x − 1)，所以 y = −3x + 1。检查：−3 + 1 = −2。✓

法线斜率：1/3。y + 2 = (1/3)(x − 1)，所以 3y + 6 = x − 1，得 x − 3y − 7 = 0。检查：1 + 6 − 7 = 0。✓

第 4 题。 求曲线 y = x² − 4x + 7 上与直线 y = 2x + 1 平行的切线方程。

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平行线斜率相同，所以 dy/dx = 2。于是 2x − 4 = 2，得 x = 3。

y = 9 − 12 + 7 = 4，点是 (3, 4)。y − 4 = 2(x − 3)，所以 y = 2x − 2。检查：2(3) − 2 = 4。✓

第 5 题。 曲线 y = 6/x 经过 (2, 3)。求该点的切线，以及切线与坐标轴相交的点。

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y = 6x⁻¹，所以 dy/dx = −6/x²。x = 2 时斜率是 −6/4 = −3/2。

y − 3 = −(3/2)(x − 2)，所以 2y − 6 = −3x + 6，得 3x + 2y − 12 = 0。检查：6 + 6 − 12 = 0。✓

y = 0 时：3x = 12，x = 4。x = 0 时：2y = 12，y = 6。切线与坐标轴相交于 (4, 0) 和 (0, 6)。

第 6 题。 一个球被抛出，t 秒后的高度是 h = 20t − 5t² 米。求 t = 3 时的 dh/dt 并解释，再求最大高度。

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dh/dt = 20 − 10t。t = 3 时：20 − 30 = −10。t = 3 时球以每秒 10 米的速度下落。

20 − 10t = 0 时变化率为零，得 t = 2。此时 h = 40 − 20 = 20 米，是最大高度，因为变化率由正变负。

第 7 题。 制造 x 件货品的成本是 C = 0.5x² + 20x + 100（单位：令吉）。求 x = 30 时 C 相对于 x 的变化率，并说明其含义。

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dC/dx = x + 20。x = 30 时：50。

当制造 30 件时，每多做一件，成本增加 RM50。

第 8 题。 一杯冷却中的液体，t 分钟后温度是 T = 100 − 12t + 0.5t² °C，0 ≤ t ≤ 12。求 t = 4 时的 dT/dt、解释它，并求最低温度。

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dT/dt = −12 + t。t = 4 时：−8。温度以每分钟 8 °C 的速率下降。

t = 12 时变化率为零。T = 100 − 144 + 72 = 28 °C。这是所给范围内的最低温度，因为 t 小于 12 时变化率一直为负。

完整做完一遍之后，把错误分成方法、运算和表述三类。附加数学线上一对一补习的老师可以陪你逐类处理。