Sebelas soalan ini meliputi seluruh modul: persamaan tangen dan normal, kadar perubahan, kadar berkaitan dan tafsiran tanda. Semuanya asal dan disusun daripada mudah kepada lebih sukar. Ia melatih kaedah dalam tangen, normal dan kadar.
Tulis penyelesaian penuh di atas kertas sebelum membuka jawapan. Bandingkan kaedah dan nilai akhir anda, dan catat setiap kesilapan dalam log kesilapan anda.
Tangen dan normal
Soalan 1. Cari persamaan tangen kepada y = x² − 2x + 3 pada titik di mana x = 3.
Lihat jawapan
y = 9 − 6 + 3 = 6, jadi titiknya (3, 6). dy/dx = 2x − 2, maka m = 4.
y − 6 = 4(x − 3), jadi y = 4x − 6. Semak: 4(3) − 6 = 6. ✓
Soalan 2. Cari persamaan normal kepada lengkung yang sama pada x = 3, dalam bentuk ax + by + c = 0.
Lihat jawapan
Kecerunan tangen ialah 4, maka kecerunan normal ialah −1/4.
y − 6 = −(1/4)(x − 3). Darab dengan 4: 4y − 24 = −x + 3, jadi x + 4y − 27 = 0. Semak: 3 + 24 − 27 = 0. ✓
Soalan 3. Bagi y = x³ − 3x², cari tangen dan normal pada titik di mana x = 1.
Lihat jawapan
y = 1 − 3 = −2, jadi titiknya (1, −2). dy/dx = 3x² − 6x = 3 − 6 = −3.
Tangen: y + 2 = −3(x − 1), jadi y = −3x + 1. Semak: −3 + 1 = −2. ✓
Kecerunan normal: 1/3. y + 2 = (1/3)(x − 1), maka 3y + 6 = x − 1 dan x − 3y − 7 = 0. Semak: 1 + 6 − 7 = 0. ✓
Soalan 4. Cari persamaan tangen kepada y = x² − 4x + 7 yang selari dengan garis y = 2x + 1.
Lihat jawapan
Garis selari mempunyai kecerunan yang sama, maka dy/dx = 2. Jadi 2x − 4 = 2, memberi x = 3.
y = 9 − 12 + 7 = 4, jadi titiknya (3, 4). y − 4 = 2(x − 3), maka y = 2x − 2. Semak: 2(3) − 2 = 4. ✓
Soalan 5. Lengkung y = 6/x melalui (2, 3). Cari tangen pada titik ini dan koordinat tempat tangen itu bertemu paksi.
Lihat jawapan
y = 6x⁻¹, maka dy/dx = −6/x². Pada x = 2 kecerunannya −6/4 = −3/2.
y − 3 = −(3/2)(x − 2), maka 2y − 6 = −3x + 6 dan 3x + 2y − 12 = 0. Semak: 6 + 6 − 12 = 0. ✓
Apabila y = 0: 3x = 12, maka x = 4. Apabila x = 0: 2y = 12, maka y = 6. Tangen bertemu paksi pada (4, 0) dan (0, 6).
Kadar perubahan
Soalan 6. Sebiji bola dibaling supaya ketinggiannya ialah h = 20t − 5t² meter selepas t saat. Cari dh/dt apabila t = 3 dan tafsirkannya. Cari juga ketinggian maksimum.
Lihat jawapan
dh/dt = 20 − 10t. Pada t = 3: 20 − 30 = −10. Bola jatuh pada 10 m per saat apabila t = 3.
Kadar ialah sifar apabila 20 − 10t = 0, maka t = 2. Kemudian h = 40 − 20 = 20 m, ketinggian maksimum, kerana kadar berubah daripada positif kepada negatif.
Soalan 7. Kos membuat x barang ialah C = 0.5x² + 20x + 100 (dalam RM). Cari kadar perubahan C terhadap x apabila x = 30, dan nyatakan maksudnya.
Lihat jawapan
dC/dx = x + 20. Pada x = 30: 50.
Apabila 30 barang dibuat, kos bertambah pada RM50 bagi setiap barang tambahan.
Soalan 8. Suhu cecair yang menyejuk ialah T = 100 − 12t + 0.5t² °C selepas t minit, untuk 0 ≤ t ≤ 12. Cari dT/dt apabila t = 4, tafsirkannya, dan cari suhu terendah.
Lihat jawapan
dT/dt = −12 + t. Pada t = 4: −8. Suhu berkurang pada 8 °C seminit.
Kadar ialah sifar apabila t = 12. T = 100 − 144 + 72 = 28 °C. Ini ialah suhu terendah dalam julat yang dinyatakan, kerana kadar negatif bagi setiap t di bawah 12.
Kadar berkaitan
Soalan 9. Sisi sebuah kubus bertambah pada 0.2 cm per saat. Cari kadar luas permukaannya S = 6x² bertambah apabila x = 10.
Lihat jawapan
dS/dx = 12x. dS/dt = 12x × 0.2 = 2.4x. Pada x = 10: 24 cm² per saat.
Soalan 10. Luas riak air berbentuk bulatan bertambah pada 10 cm² per saat. Cari kadar pertambahan jejarinya apabila r = 4, beri jawapan betul kepada 3 angka bererti.
Lihat jawapan
A = πr², maka dA/dr = 2πr = 8π pada r = 4. Daripada dA/dt = dA/dr × dr/dt: 10 = 8π × dr/dt.
dr/dt = 10/(8π) = 5/(4π) ≈ 0.398 cm per saat.
Soalan 11. Sebiji belon ditiup supaya isi padunya V = (4/3)πr³ bertambah pada 100 cm³ per saat. Cari dr/dt apabila r = 5, dalam bentuk tepat dan betul kepada 3 angka bererti.
Lihat jawapan
dV/dr = 4πr² = 100π pada r = 5. Maka 100 = 100π × dr/dt, jadi dr/dt = 1/π ≈ 0.318 cm per saat.
Jika anda tersilap soalan ini
| Apa yang tidak kena | Kembali ke |
|---|---|
| Menggunakan nilai y sebagai kecerunan, atau lupa mencari titik | Cari persamaan tangen pada satu titik |
| Menterbalikkan kecerunan tetapi tidak tanda, atau sebaliknya | Bentuk normal menggunakan tanda salingan yang betul |
| Memberi kadar purata, atau lupa unit | Gunakan terbitan sebagai kadar perubahan |
| Berhenti pada dA/dr dan lupa dr/dt | Kaitkan dua kuantiti yang berubah melalui model kadar berkaitan |
| Menulis nombor tanpa menyatakan bertambah atau berkurang | Terangkan tanda kadar dalam konteks |
Untuk pengiraan yang lebih mantap, cuba latihan pengiraan tanpa kalkulator dan penjelajah struktur kuadratik.
Selepas satu percubaan penuh, asingkan kesilapan anda kepada tiga jenis: kaedah, pengiraan dan penulisan jawapan. Guru yang ditugaskan dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu dengan satu boleh menyemak ketiga-tiga jenis itu bersama anda.