Soalan kadar berkaitan (related rates) menghubungkan dua kuantiti yang kedua-duanya berubah dengan masa. Anda tahu kadar satu kuantiti dan perlu mencari kadar yang satu lagi. Alatnya ialah petua rantai (chain rule): dy/dt = dy/dx × dx/dt.
Pelajaran ini menyambung menggunakan terbitan sebagai kadar perubahan. Ia sebahagian daripada modul tangen, normal dan kadar.
Apakah kaedahnya, langkah demi langkah?
- Namakan kuantiti, dan tulis kadar yang diberi serta kadar yang dicari.
- Tulis rumus yang menghubungkan dua kuantiti itu.
- Bezakan rumus itu terhadap kuantiti yang kadarnya anda ketahui.
- Darab dengan kadar yang diberi menggunakan petua rantai.
- Gantikan nilai pada saat yang diminta dan tulis unit.
Contohnya, jika anda mahu dA/dt dan diberi dr/dt, guna dA/dt = dA/dr × dr/dt.
Contoh berlangkah
Satu tompokan minyak berbentuk bulatan. Jejarinya bertambah pada 2 cm per saat. Cari kadar luasnya bertambah apabila jejari ialah 5 cm.
Langkah 1, namakan: A ialah luas, r ialah jejari. Diberi dr/dt = 2. Dicari dA/dt apabila r = 5.
Langkah 2, rumus: A = πr².
Langkah 3, bezakan: dA/dr = 2πr.
Langkah 4, petua rantai: dA/dt = dA/dr × dr/dt = 2πr × 2 = 4πr.
Langkah 5, ganti r = 5: dA/dt = 4π × 5 = 20π ≈ 62.8.
Luas bertambah pada 20π cm² per saat (kira-kira 62.8 cm² per saat).
Semak: unitnya cm² per saat, sesuai untuk luas per masa. ✓
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan biasa ialah berhenti selepas membezakan rumus, lalu menganggap dA/dr sebagai jawapan.
Kerja yang salah: A = πr², maka dA/dr = 2πr. Pada r = 5 kadarnya 10π.
Ini ialah kadar perubahan luas terhadap jejari, dalam cm² per cm. Soalan meminta kadar terhadap masa.
Pembetulannya ialah menulis sasaran “dA/dt” dahulu dan melihat penyebutnya. Jika penyebut jawapan anda ialah r, masih ada faktor dr/dt yang tertinggal.
Semak diri anda
Cuba soalan ini, kemudian buka setiap jawapan.
1. Sebuah kubus mempunyai sisi x cm, bertambah pada 3 cm per saat. Cari kadar isi padunya bertambah apabila x = 4.
Lihat jawapan
V = x³, maka dV/dx = 3x². dV/dt = 3x² × 3 = 9x². Pada x = 4: 9 × 16 = 144 cm³ per saat.
2. Sebuah sfera mempunyai isi padu V = (4/3)πr³. Isi padunya bertambah pada 12π cm³ per saat. Cari kadar pertambahan jejari apabila r = 3.
Lihat jawapan
dV/dr = 4πr². Pada r = 3 nilainya 36π. Oleh kerana dV/dt = dV/dr × dr/dt, kita ada 12π = 36π × dr/dt, maka dr/dt = 1/3 cm per saat.
3. Satu titik bergerak pada lengkung y = x² + 1 supaya x bertambah pada 0.5 unit per saat. Seberapa cepat y berubah apabila x = 3?
Lihat jawapan
dy/dx = 2x = 6 pada x = 3. dy/dt = 6 × 0.5 = 3 unit per saat.
Langkah seterusnya
Setelah rantai itu menjadi automatik, selesaikan modul dengan menerangkan tanda kadar dalam konteks, kemudian uji diri dengan set latihan campuran. Latihan pengiraan tanpa kalkulator membantu apabila jawapan ditulis dalam sebutan π, dan penjelajah struktur kuadratik berguna apabila syarat kadar menjadi persamaan kuadratik.
Ramai pelajar yang tahu petua rantai masih tersekat ketika memilih rumus yang betul. Guru yang ditugaskan dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu dengan satu boleh melihat kerja kasar anda dan menunjukkan di mana pilihan rumus tersasar.