Terbitan mengukur seberapa cepat satu kuantiti berubah berbanding kuantiti lain. Apabila soalan memberi y dalam sebutan t, dy/dt ialah kadar perubahan y terhadap masa, dan nilainya pada t yang dipilih menunjukkan seberapa pantas y berubah pada ketika itu.
Pelajaran ini menyusul pembentukan normal dalam modul tangen, normal dan kadar, dan menggunakan peraturan daripada teknik pembezaan.
Bagaimana menukar soalan kadar kepada kalkulus?
- Kenal pasti kuantiti yang berubah, contohnya isi padu V.
- Kenal pasti pemboleh ubah yang menjadi puncanya, biasanya masa t.
- Bezakan V terhadap t untuk mendapat dV/dt.
- Gantikan masa yang diberi ke dalam dV/dt.
- Tulis unit dan satu ayat ringkas jika soalan meminta tafsiran.
Frasa “pada ketika” atau “pada masa t = 5” menunjukkan nilai terbitan. Frasa “antara t = 0 dan t = 5” menunjukkan purata, yang menggunakan perbezaan.
Contoh berlangkah
Air mengalir ke dalam sebuah tangki. Selepas t minit, isi padu ialah V = 40t − t² liter, untuk 0 ≤ t ≤ 20. Cari kadar isi padu bertambah apabila t = 5, dan bandingkan dengan kadar purata dalam 5 minit pertama.
Langkah 1, bezakan: dV/dt = 40 − 2t.
Langkah 2, ganti t = 5: dV/dt = 40 − 10 = 30.
Isi padu bertambah pada 30 liter seminit apabila t = 5.
Langkah 3, kadar purata: V(0) = 0 dan V(5) = 200 − 25 = 175. Kadar purata = 175 ÷ 5 = 35 liter seminit.
Purata (35) lebih besar daripada kadar pada t = 5 (30) kerana tangki terisi lebih perlahan apabila masa berlalu.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan biasa ialah membahagi V dengan t, lalu menganggapnya kadar pada satu saat.
Kerja yang salah: V(5) = 175, jadi kadarnya 175 ÷ 5 = 35 liter seminit.
Ini ialah kadar purata sepanjang 5 minit, bukan kadar pada t = 5.
Pembetulannya ialah bertanya “pada satu saat atau sepanjang satu tempoh?” sebelum bermula. Satu saat bermaksud bezakan dan ganti. Satu tempoh bermaksud tolak nilai dan bahagi dengan masa yang diambil.
Semak diri anda
Cuba soalan ini, kemudian buka setiap jawapan.
1. Luas tompokan yang merebak ialah A = 3t² + 2t cm² selepas t saat. Cari dA/dt apabila t = 4.
Lihat jawapan
dA/dt = 6t + 2. Pada t = 4: 24 + 2 = 26 cm² per saat.
2. Populasi dimodelkan oleh P = 1000 + 50t − 2t², dengan t dalam tahun. Cari kadar perubahan P apabila t = 10.
Lihat jawapan
dP/dt = 50 − 4t. Pada t = 10: 50 − 40 = 10 setahun. Populasi masih bertambah, tetapi perlahan.
3. Bagi y = t³ − 6t² + 5, cari nilai t apabila kadar perubahan y ialah sifar.
Lihat jawapan
dy/dt = 3t² − 12t = 3t(t − 4). Menyamakannya dengan sifar memberi t = 0 atau t = 4. Semak: 3(0)(−4) = 0 dan 3(4)(0) = 0. ✓
Langkah seterusnya
Dua kuantiti sering berubah serentak, jadi teruskan dengan mengaitkan dua kuantiti yang berubah melalui model kadar berkaitan. Berlatih dalam set latihan campuran. Latihan pengiraan tanpa kalkulator membantu anda menyemak pengiraan, dan penjelajah struktur kuadratik membantu anda membaca titik pusingan daripada graf.
Jika markah anda hilang pada soalan cerita, guru yang ditugaskan dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu dengan satu boleh membaca soalan itu bersama anda, langkah demi langkah, untuk mencari kesilapannya.