曲线在某一点的法线，是通过该点、并且与切线垂直的直线。它的斜率是切线斜率的负倒数：如果切线斜率是 m，法线斜率就是 −1/m。
你要建立在求切线方程之上，所以先有切点和切线斜率。这一课属于切线、法线与变化率。
为什么是负倒数？
两条垂直直线的斜率 m₁ 和 m₂ 满足 m₁ × m₂ = −1。向右上升的陡线（m = 5）与向右下降的缓线（−1/5）互成直角。
斜率 2 变成 −1/2，斜率 −3/4 变成 4/3。每次都要把分数倒过来，并且改变符号。
方法是什么？一步一步来
- 求点： 把 x 代入曲线。
- 求切线斜率： 把 x 代入 dy/dx。
- 换算成法线斜率：−1 除以切线斜率。
- 写直线： 用 y − y₁ = m(x − x₁)。
- 检查： 两个斜率之积是否为 −1，点是否满足方程。
例题详解
求曲线 y = 2x² − 3x + 1 在 x = 2 处的法线方程，答案写成 ax + by + c = 0，系数为整数。
第一步，求点： y = 2(4) − 6 + 1 = 3，点是 (2, 3)。
第二步，切线斜率： dy/dx = 4x − 3，x = 2 时斜率是 5。
第三步，法线斜率： −1/5。
第四步，写直线： y − 3 = −(1/5)(x − 2)。两边乘 5：5y − 15 = −x + 2。
第五步，整理： x + 5y − 17 = 0。
检查： 5 × (−1/5) = −1。✓ 点 (2, 3)：2 + 15 − 17 = 0。✓
要留意的错误
常见的错误是只做了一半的换算。
错误演算： 切线斜率 5，所以法线斜率是 −5（只变号，没有倒过来）。或者：法线斜率是 1/5（只倒过来，没有变号）。
这两条线都不垂直。斜率之积分别是 −25 或 +1，而不是 −1。
改正的方法是在演算旁边写下“m × m = −1”，继续之前先验证。如果积不是 −1，说明两步之中漏了一步。
自我检测
先试做，再打开答案。
1. 求 y = x² + 1 在 x = 1 处的法线，写成 ax + by + c = 0。
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y = 1 + 1 = 2，点是 (1, 2)。dy/dx = 2x，切线斜率是 2，法线斜率是 −1/2。
y − 2 = −(1/2)(x − 1)。两边乘 2：2y − 4 = −x + 1，所以 x + 2y − 5 = 0。检查：1 + 4 − 5 = 0。✓
2. 求 y = 8/x 在 x = 2 处的法线，写成 y = mx + c。
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y = 8/2 = 4，点是 (2, 4)。把 y 写成 8x⁻¹，则 dy/dx = −8/x²，切线斜率是 −8/4 = −2，法线斜率是 1/2。
y − 4 = (1/2)(x − 2)，所以 y = x/2 + 3。检查：2/2 + 3 = 4。✓
3. 某条切线的斜率是 −3/4。同一点的法线斜率是多少？
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把 −3/4 倒过来得 −4/3，再变号：4/3。检查：(−3/4) × (4/3) = −1。✓
下一步
切线和法线稳定后，继续学习把导数当作变化率，再试混合练习题组。无计算器运算训练适合练习倒数分数，二次函数结构探索器能显示抛物线及其切线与法线。
如果你懂规则，却在时间压力下仍然弄错符号，最好有人当场看你的演算。附加数学线上一对一补习的老师可以让你边做边讲，立刻指出符号是在哪一步丢的。