切线是只在一点碰到曲线、并且在该点与曲线斜率相同的直线。要写出它的方程，需要两样东西：由 dy/dx 得到的斜率，以及由原曲线得到的 y 坐标。
这项技能位于切线、法线与变化率的开头，用到求导技巧中的规则。
方法是什么？一步一步来
- 求点。 把给定的 x 代入曲线方程，得到 y。
- 求导。 写出曲线的 dy/dx。
- 求斜率。 把同一个 x 代入 dy/dx，得到 m。
- 写直线。 用第 1 步的点，套用 y − y₁ = m(x − x₁)。
- 整理成题目要求的形式，并检查该点是否满足最后的方程。
最后的检查只要五秒：把 x 代回去，确认得到同一个 y。
例题详解
求曲线 y = x³ − 4x + 1 在 x = 2 处的切线方程。
第一步，求点： y = 2³ − 4(2) + 1 = 8 − 8 + 1 = 1，点是 (2, 1)。
第二步，求导： dy/dx = 3x² − 4。
第三步，求斜率： x = 2 时，m = 3(4) − 4 = 8。
第四步，写直线： y − 1 = 8(x − 2)，所以 y = 8x − 16 + 1 = 8x − 15。
第五步，检查： x = 2 时，8(2) − 15 = 1。✓
切线方程是 y = 8x − 15。
要留意的错误
常见的失误是代错地方：把 x = 2 代入曲线，却把得到的数当成斜率。
错误演算： x = 2 时 y = 1，所以 m = 1，切线是 y − 1 = 1(x − 2)，得 y = x − 1。
1 是曲线的高度，不是它的陡度。陡度只能从 dy/dx 得到。
改正的方法是写两栏：“点”和“斜率”。第一栏从曲线求，第二栏从导数求，这样就看得出哪个数属于哪一栏。
自我检测
先试做，再打开答案。
1. 求 y = x² − 3x + 5 在 x = 4 处的切线。
查看答案
y = 16 − 12 + 5 = 9，点是 (4, 9)。dy/dx = 2x − 3，所以 m = 2(4) − 3 = 5。
y − 9 = 5(x − 4)，所以 y = 5x − 11。检查：5(4) − 11 = 9。✓
2. 求 y = 2x³ 在 x = −1 处的切线。
查看答案
y = 2(−1)³ = −2，点是 (−1, −2)。dy/dx = 6x²，所以 m = 6。
y + 2 = 6(x + 1)，所以 y = 6x + 4。检查：6(−1) + 4 = −2。✓
3. 求 y = √x 在 x = 9 处的切线，答案写成 ax + by + c = 0 的形式。
查看答案
y = √9 = 3，点是 (9, 3)。把 y 写成 x^(1/2)，则 dy/dx = 1/(2√x)，m = 1/6。
y − 3 = (1/6)(x − 9)。两边乘 6：6y − 18 = x − 9，所以 x − 6y + 9 = 0。检查：9 − 18 + 9 = 0。✓
下一步
同一个斜率还能给出垂直的直线，所以接着学习用正确的倒数符号求法线。想做混合题，可以用切线、法线与变化率练习题组。无计算器运算训练能帮你处理斜率里的分数运算，二次函数结构探索器让你把曲线和切线放在一起观察。
有些学生在干净的例子里每一步都会，但曲线一出现根号或分数就乱了。附加数学线上一对一补习的老师看你的演算，很快就能指出你是在哪一步乱的。