微分（differentiation）能把曲线上任意一点的斜率（gradient）写成公式。附加数学的技巧题，要你对幂、乘积、带指数的括号，以及 ln 和指数形式求导，并求对这条公式。
后面的课题都要用到它。驻点与最优化和切线、法线与变化率都从导数（derivative）开始，所以这里的错误会一路带到最终答案。复习前，请先到 Cambridge 官网的 0606 课程大纲页面，核对你要会微分的函数范围。
开始之前需要掌握什么？
你需要熟练的指数运算，因为每一项都要先写成 x 的幂。这包括负指数和分数指数，例如 1/x² = x−2，√x = x1/2。
你还需要基本的函数记号，以及“斜率 = 竖直变化 ÷ 水平变化”的概念。如果复合函数仍不稳，可先看函数与限制。ln 与 ex 可参考指数与对数推理。
一道导入例题
求 y = x⁴ − 2/x 在 x = 1 处的斜率。
第 1 步，写成幂： y = x⁴ − 2x−1。
第 2 步，逐项微分： 指数放到前面，指数再减 1。dy/dx = 4x³ + 2x−2 = 4x³ + 2/x²。
第 3 步，代入： x = 1 时，斜率为 4 + 2 = 6。
第 2 步里的两个符号变化是最容易丢分的地方。把 −1 放到前面，再乘以 −2，结果是 +2。
这些课应该按什么顺序学？
- 对带分数指数的多项式求导：基本功。之后每条法则的最后一步都用到它。
- 在适用时对乘积求导：两个括号相乘时怎么做，以及何时先展开更快。
- 对复合表达式使用链式法则：用于带指数的括号或根号。
- 对对数与指数形式求导：加入 ln 和 ex，并与前面的法则结合。
- 用局部斜率检验导数：没有评分方案也能发现错误答案的习惯。
然后做微分技巧练习。微积分形状与变化率探索器可以让你同时看到曲线和它的斜率。
常见的陷阱有哪些？
- 链式法则漏掉内层导数。
- 把两个导数相乘，而不是使用 u′v + uv′。
- 不把 1/x² 或 √x 改写，然后凭感觉乱套法则。
- 负指数处理出错，微分后 x−2 变成 x−1，而不是 x−3。
- 忘记 ln(ax + b) 的分子要有因子 a。
练习该怎么用？
每道题先在纸上做。第一行就写出你要用的法则，例如“设 u = … 且 v = …”，让你的方法清楚可见。
做完后，用上一课的局部斜率习惯检验两三道答案。练习末尾的“如果你做错了”会把每种错误指回对应的一课。
如果问题出在不知道该选哪条法则，而不是记不住法则，线上一对一附加数学补习的老师可以专门陪你练第一步怎么选。附加数学学习指南列出了这个课题在整个科目中的位置。