要对任何一项 axn 求导，先乘以指数，再把指数减 1：axn 的导数 = anxn−1。当 n 是负数或分数时，这条规则同样成立。第一步是把根号和分数改写成 x 的幂。
这是微分技巧的基本功，之后每条法则的最后一步都会用到它。
怎样把根号和分数改写成幂？
先用指数律，再求导。常见的改写如下：
| 原写法 | 幂的形式 |
|---|---|
| √x | x1/2 |
| 1/x | x−1 |
| 1/x² | x−2 |
| 1/√x | x−1/2 |
| ∛x | x1/3 |
| (x² + 3)/x | x + 3x−1 |
分母只有一项的分数都可以拆开。把分子的每一项分别除以分母，再用指数律化简每一项。
例题
对 y = 2x³ − 6√x + 4/x² 求导，并求 x = 4 处的斜率。
第 1 步，改写： y = 2x³ − 6x1/2 + 4x−2。
第 2 步，逐项求导：
- 2x³ 得 6x²。
- −6x1/2 得 −6 × ½ × x−1/2 = −3x−1/2。
- 4x−2 得 4 × (−2) × x−3 = −8x−3。
所以 dy/dx = 6x² − 3x−1/2 − 8x−3 = 6x² − 3/√x − 8/x³。
第 3 步，代入 x = 4： 6 × 16 = 96，3/√4 = 3/2 = 1.5，8/4³ = 8/64 = 0.125。
斜率 = 96 − 1.5 − 0.125 = 94.375。
要留意的错误
常见的失误是指数减 1 时从错误的起点出发，尤其是指数本来就是负数的时候。
错误做法： y = 4/x² → dy/dx = 4 × (−2) × x−1 = −8/x
学生把 −2 − 1 当成了 −1。
指数从 −2 开始，减 1 后是 −3，不是 −1。所以正确的导数是 −8x−3 = −8/x³。在这一行写上“新指数 = 旧指数 − 1”并把算式写出来，就能避免这个错误。
分数指数也要同样细心：x1/2 变成 x−1/2，因为 ½ − 1 = −½。
一个可以随时使用的小习惯
每求完一项导数，马上把这一项的“旧指数”和“新指数”并排写出来，例如 −2 → −3。这样做多花不到五秒，却能挡住大部分指数与符号的错误。
求导结束后，再用一个简单的数代入检查一次：x = 1 时，每一项的系数就是它原来的系数乘以旧指数，很容易口算核对。
自我检测
1. 对 y = x3/2 求导。
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把 3/2 放到前面，指数减 1：3/2 − 1 = 1/2。
dy/dx = (3/2)x1/2
2. 对 y = 5/√x 求导，并求 x = 4 处的斜率。
显示答案
改写：y = 5x−1/2。则 dy/dx = 5 × (−½) × x−3/2 = −(5/2)x−3/2。
x = 4 时，x3/2 = 8，所以斜率为 −5/(2 × 8) = −5/16。
3. 对 y = (x² + 3)/x 求导，并求 x = 3 处的斜率。
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拆开分数：y = x + 3x−1。则 dy/dx = 1 − 3x−2 = 1 − 3/x²。
x = 3 时：1 − 3/9 = 1 − 1/3 = 2/3。
接下来学什么
幂的求导稳了以后，继续学对乘积求导，每个因子都用同一条规则来求导。微积分形状与变化率探索器展示斜率公式与曲线的关系，免计算器演算训练器则帮你练熟分数和根号的运算。
如果你懂规则，却在时间紧时漏掉符号或指数，线上一对一附加数学补习的老师可以看你的作答，帮你把“旧指数 → 新指数”练成习惯。