用局部斜率检验导数

导数给出曲线在某一点的斜率，所以你可以在一个 x 值上检验它。先算出你的公式在这个 x 处的值，再用原函数上两个相近的点估计斜率。如果两个数很接近，导数很可能是对的。

这一课用来检验幂、乘积、链式法则以及 ln 和 e^x 形式的结果。它要用到计算器，所以是一种复习习惯，而不是免计算器题目的解法。

怎样在一个点检验导数？

1. 选一个方便的 x， 例如 1 或 2，这样计算简单。
2. 算出导数 在该 x 处的值。
3. 选一个小步长， h = 0.01 就够了。
4. 估计斜率： (f(x + h) − f(x − h)) / (2h)。
5. 比较。 两者应该在大约三位有效数字内吻合。

用 x − h 和 x + h，而不是 x 和 x + h，在同样的工作量下估计更准确。

例题

一位学生对 y = x(2x − 1)³ 求导，得到 dy/dx = (2x − 1)²(8x − 1)。在 x = 1 处检验这个答案。

第 1 步，公式的值： x = 1 时，(2 − 1)² × (8 − 1) = 1 × 7 = 7。

第 2 步，取 h = 0.01 时的函数值：

• f(1.01) = 1.01 × (1.02)³ = 1.01 × 1.061208 = 1.07182008。
• f(0.99) = 0.99 × (0.98)³ = 0.99 × 0.941192 = 0.93178008。

第 3 步，估计： (1.07182008 − 0.93178008) / 0.02 = 0.14004 / 0.02 = 7.002。

公式给出 7，估计给出 7.002。两者吻合，所以这个导数通过检验。

要留意的错误

现在假设另一位学生忘了内层导数，写成 dy/dx = (2x − 1)³ + 3x(2x − 1)²。

错误的值（x = 1）： 1 + 3 = 4

由函数得到的估计： 7.002

差距大约是 3，远大于舍入误差，所以检验不通过。它也指出该往哪里找：第二项应该多出一个来自内层导数的因子 2，变成 6x(2x − 1)²，x = 1 时是 6。于是 1 + 6 = 7。

如果你的公式含有 x 这一项，不要只相信在 x = 0 或 x = 1 处吻合的检验。在这两个值上，因子 x 可能把错误藏起来，所以也要在 x = 2 处试一次。

自我检测

1. 一位学生说 y = √x 的导数是 1/(2√x)。取 h = 0.01 在 x = 4 处检验，已知 √4.01 ≈ 2.00250，√3.99 ≈ 1.99750。

2. 取 h = 0.1，检验 y = x³ 在 x = 2 处的导数是 12。

3. 一位学生声称 y = ln(x² + 4) 的导数是 1/(x² + 4)。在 x = 2、h = 0.01 时，ln(8.0401) − ln(7.9601) ≈ 0.0100。这个说法通过检验吗？

接下来学什么

做一做微分技巧练习，并对其中几道答案使用这个检验。微积分形状与变化率探索器用图像展示同样的想法，你可以把切线和曲线对照着看。当导数值得信赖后，就可以继续学驻点以及切线与法线。

如果你不确定哪些答案值得花时间检验，线上一对一附加数学补习的老师可以帮你判断。免计算器演算训练器则用来练习精确运算。