这一课只需要两个基本结果：ex 的导数是 ex，ln x 的导数是 1/x。如果里面不只是 x，就再加上链式法则：ef(x) 的导数是 f′(x)ef(x)，ln f(x) 的导数是 f′(x)/f(x)。
请在 Cambridge 官网的 0606 大纲页面核对你需要微分哪些对数和指数函数。这一课以 ex 和 ln x 为基础，它们也出现在指数与对数推理中。
这些形式在实际中怎么用？
| y | dy/dx |
|---|---|
| ex | ex |
| ekx | kekx |
| ef(x) | f′(x)ef(x) |
| ln x | 1/x |
| ln(ax + b) | a/(ax + b) |
| ln f(x) | f′(x)/f(x) |
指数函数保持原来的形式，内层提供一个乘数。对数变成分数：分子是内层的导数，分母是内层本身。
例题
对 (a) y = e2x + ln(3x − 1) 和 (b) y = x e−x 求导。
(a) 对 e2x，内层是 2x，导数为 2。所以结果是 2e2x。
对 ln(3x − 1)，内层是 3x − 1，导数为 3。所以结果是 3/(3x − 1)。
dy/dx = 2e2x + 3/(3x − 1)。
(b) 这是乘积。设 u = x，v = e−x。则 u′ = 1，v′ = −e−x。
dy/dx = u′v + uv′ = e−x + x(−e−x) = e−x − xe−x = (1 − x)e−x。
合理性检查：x = 0 时斜率为 1，而 y = xe−x 在原点附近接近 y = x，所以吻合。
要留意的错误
诱人的捷径是把“基本”结果套在整个式子上，忽略内层。
错误做法： y = ln(x² + 4) → dy/dx = 1/(x² + 4)
学生写了“1 除以内层”，却忘了内层的导数。
分子必须是 x² + 4 的导数，也就是 2x，所以正确答案是 2x/(x² + 4)。
另一个相关的失误是把 e2x 写成 2x e2x−1。幂法则不适用于 ex，因为 x 在指数位置，不在底数位置。正确的导数是 2e2x。
怎样记住这两个结果？
ex 是唯一一个“求导后不变”的函数，所以 e 后面的指数如果是 kx，结果只是多一个乘数 k。ln x 的导数 1/x 则可以记成“ln 把它变成倒数”，而内层的导数放在分子。
如果遇到 ln(3x) 或 ln(x2) 这样的形式，先用对数律拆开，例如 ln(x²) = 2 ln x，导数就是 2/x，比直接用链式法则更快。
自我检测
1. 对 y = e5x 求导。
显示答案
内层是 5x，导数为 5，所以 dy/dx = 5e5x。
2. 对 y = ln(4x + 1) 求导，并求 x = 0 处的斜率。
显示答案
dy/dx = 4/(4x + 1)。x = 0 时：4/1 = 4。
3. 对 y = x²ex 求导，因式分解，并求 x = 1 处的斜率，答案保留 e。
显示答案
设 u = x²，v = ex，则 u′ = 2x，v′ = ex。
dy/dx = 2xex + x²ex = x(x + 2)ex。
x = 1 时：1 × 3 × e = 3e（约 8.15）。
接下来学什么
最后一节技巧课用局部斜率检验导数，是检验含 ex 和 ln 答案的好方法。微积分形状与变化率探索器会画出曲线和它的斜率，免计算器演算训练器则帮你处理保留 e 的答案。
如果 e 和 ln 对你还很陌生，线上一对一附加数学补习的老师可以从你已经会的法则出发，按你的进度加入这两类函数。