这一章用导数（derivative）做三件事：写切线方程、写法线方程，以及描述一个量变化得多快。一个概念贯穿全章：dy/dx 是曲线的斜率，dy/dt 是 y 随时间变化的快慢。
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你需要先具备哪些基础？
你需要会对 x 的幂求导，包括负指数和分数指数，并会使用链式法则。你还需要直线方程 y − y₁ = m(x − x₁)，以及垂直直线的斜率之积为 −1 这一事实。
如果求导还很慢，请先复习求导技巧。学完本章之后，积分方法会把这个过程倒过来。
示范例题
求曲线 y = x² − 4x + 5 在 x = 3 处的切线与法线。
第一步，求点： y = 9 − 12 + 5 = 2，点是 (3, 2)。
第二步，斜率： dy/dx = 2x − 4，x = 3 时斜率是 2。
第三步，切线： y − 2 = 2(x − 3)，所以 y = 2x − 4。
第四步，法线： 斜率是 −1/2。y − 2 = −(1/2)(x − 3)，所以 2y − 4 = −x + 3，得 x + 2y − 7 = 0。
检查： 2 × (−1/2) = −1。✓ 点 (3, 2) 满足两条直线：2(3) − 4 = 2，3 + 4 − 7 = 0。✓
应该按什么顺序学习？
- 求曲线在某一点的切线方程：基础技能，结合一个点与一个斜率。
- 用正确的倒数符号求法线：同一个斜率，倒过来再变号。
- 把导数当作变化率：同一个导数，读成变化的速度。
- 用相关变化率模型联系两个变化的量：带有两个变化量的链式法则。
- 解释变化率符号的含义：把正或负的答案变成清楚的句子。
学完五课，再做混合练习题组。每天一课，周末做练习题组，节奏比较稳。
哪些陷阱让大多数学生失分？
- 把 y 值当成斜率，或把斜率当成 y 值。
- 只换算一半的法线斜率： 只倒过来没变号，或只变号没倒过来。
- 停在 dA/dr，忘了乘 dr/dt。
- 求导前就代入数字，使公式变成常数。
- 给出平均变化率，而题目要的是某一瞬间的速率。
- 写变化率却没有单位或方向，例如只写“−8”，没说“减少”。
每一课都会完整展示其中一种错误，然后加以改正。
练习题组该怎么用？
先在纸上做每一道题，建立方程之前，把点和斜率分成两行写出。然后打开解答，比较方法和最终数值。用无计算器运算训练练习分数斜率，用二次函数结构探索器检查转折点和根。
如果相关变化率或变化率的符号总让你出错，附加数学线上一对一补习的老师可以从你做错的题目开始，帮你找出卡住的那一步。