这个模块讲附加数学中函数如何运作。你会学哪些输入有效（定义域，domain）、会出现哪些输出（值域，range）、怎样把两个函数合成复合函数。你也会学怎样用反函数还原一个函数，以及为什么有些函数必须先限制定义域才有反函数。贯穿其中的只有一个想法：函数接受什么、返回什么，都要写明，不能想当然。
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你需要先具备什么基础？
你需要会分解二次式、配方、移项变形和解简单的二次方程。如果配方还不够快，请同时复习二次式结构与判别式，因为转折点决定值域。
引导例题
函数 f 定义为 f(x) = x² − 4x + 3，x ≥ 2。求 f 的值域，再求 f⁻¹(x)。
第 1 步，配方： f(x) = (x − 2)² − 1。
第 2 步，值域： 在 x ≥ 2 上，最小值是 f(2) = −1，之后 f 只会上升。所以值域是 f(x) ≥ −1。
第 3 步，反函数： y = (x − 2)² − 1，所以 (x − 2)² = y + 1，因为 x ≥ 2，取正根：x = 2 + √(y + 1)。
第 4 步，完整写出： f⁻¹(x) = 2 + √(x + 1)，x ≥ −1。
检验： f(4) = 16 − 16 + 3 = 3。然后 f⁻¹(3) = 2 + √4 = 4。得回了 4。
这一道题用到了受限定义域、值域、反函数，以及它们之间的联系：f⁻¹ 的定义域就是 f 的值域。
应该按什么顺序学习？
- 求有理式的有效输入值：最简单的定义域概念，唯一的危险是分母为零。
- 由受限定义域求值域：用端点和转折点从区间读出输出。
- 按正确顺序构造复合函数：构造 fg 和 gf，并说明为什么顺序重要。
- 求反函数并检查其定义域：把 x 解出来，并把反函数的定义域与值域联系起来。
- 解释没有无限制反函数的多对一映射：说明反函数为什么会失效，以及限制条件如何修复。
然后做综合练习卷。每天学一课，周末做练习卷，是一个稳定的节奏。
大多数学生会掉进哪些陷阱？
- 先约分再写限制条件，结果被排除的值在答案里不见了。
- 只用端点求值域，而转折点其实在区间之内。
- 把 fg(x) 读反，先用了 f 而不是 g。
- 把 f⁻¹(x) 当成 1/f(x)，这是完全不同的函数。
- 求出反函数却忘了写它的定义域，或者限制的范围跨过了转折点。
每一课都会完整展示其中一个失误，再加以纠正。
应该怎样使用练习卷？
每题先在纸上作答再打开答案，并把每一个限制条件单独写成一行。解答里缺了定义域的说明，即使代数全对也会丢分。先手算，再用复合函数与反函数探索器检验输入或图像，不要倒过来。
做错时，读练习卷末尾的对照清单，回到它指出的那一课。把错误类型记在错题记录与重测队列中，几天后再做一道新题。
如果你总是漏写限制条件，或分不清 fg 和 gf，可以在一对一线上附加数学补习里请老师看你的书面解答，当场指出问题。