多对一是什么意思？

如果两个或更多不同的输入给出相同的输出，函数就是多对一。对 f(x) = x²，3 和 −3 都给出 9。一对一函数让每个输出恰好来自一个输入，只有一对一函数才有反函数。

怎样说明一个函数没有反函数？

给出两个不同的输入，它们有相同的输出。对 f(x) = x² − 4，f(1) = −3，f(−1) = −3。反函数必须把 −3 同时带回 1 和 −1，而函数做不到这一点。一个清楚的反例就足够了。

选一个函数始终上升或始终下降的区间，这样输出就不会重复。对二次函数，这意味着取转折点的一侧，例如 x ≥ 3 或 x ≤ 3。然后求反函数并写出它的定义域。

只有当每个输出恰好来自一个输入时，函数才有反函数。多对一（many-to-one）函数违反了这条规则，所以在它的整个定义域上没有反函数。把定义域限制在转折点的一侧，就能修复它。

附加数学题常常问“解释为什么 f 没有反函数”，再问“求形如 x ≥ k 的最大定义域，使 f⁻¹ 存在”。这一课接在求反函数并检查其定义域之后，并与二次式结构与判别式中的转折点内容相关。

函数 f 定义为 f(x) = x² − 6x + 5，x 为实数。证明 f 没有反函数，然后在定义域为 x ≥ 3 时求反函数。

第 1 步，配方： f(x) = (x − 3)² − 4。转折点在 x = 3。

第 2 步，反例： f(0) = 5，f(6) = 36 − 36 + 5 = 5。两个不同的输入给出相同的输出，所以 f 是多对一，在全体实数上没有反函数。

第 3 步，限制为 x ≥ 3： 在这个区间上 f 只上升，所以没有输出重复。值域是 f(x) ≥ −4。

第 4 步，求反函数： y = (x − 3)² − 4，所以 (x − 3)² = y + 4。因为 x ≥ 3，取正根：x − 3 = √(y + 4)，x = 3 + √(y + 4)。

答案： f⁻¹(x) = 3 + √(x + 4)，x ≥ −4。

检验： f(5) = 25 − 30 + 5 = 0，f⁻¹(0) = 3 + 2 = 5。得回了 5。

常见的失误是选了一个看起来自然、却不在转折点同一侧的限制，例如 x ≥ 0。

错误答案： “限制为 x ≥ 0，反函数就存在。”

在 x ≥ 0 上仍然有 f(1) = 1 − 6 + 5 = 0 和 f(5) = 0。两个输入，同一个输出，所以仍然是多对一。

纠正方法是从转折点出发。这里转折点在 x = 3，所以限制必须是 x ≥ 3 或 x ≤ 3。两侧都能使反函数存在，但反函数的公式会变：对 x ≤ 3，它是 3 − √(x + 4)。

试做下面的题，再打开每个答案。

1. 解释为什么 f(x) = x² − 4（x 为实数）没有反函数。

显示答案

f(1) = −3，f(−1) = −3。两个不同的输入给出相同的输出，所以 f 是多对一。反函数必须把 −3 同时带回 1 和 −1，这对函数来说是不可能的。

2. 已知 f(x) = (x + 1)²，x 为实数。求形如 x ≥ k 的最大定义域使 f⁻¹ 存在，并求 f⁻¹(x)。

显示答案

转折点在 x = −1，所以 k = −1。在 x ≥ −1 上，值域是 f(x) ≥ 0。由 y = (x + 1)² 得 x + 1 = √y，所以 f⁻¹(x) = √x − 1，x ≥ 0。检验：f(1) = 4，f⁻¹(4) = 2 − 1 = 1。

3. g(x) = x³（x 为所有实数）有反函数吗？

显示答案

有。每个输出恰好来自一个输入，例如 8 只来自 x = 2。所以 g 是一对一，g⁻¹(x) = ∛x，对所有实数 x 成立，不需要任何限制。

学完这五课后，去做函数与限制条件练习卷，并记下哪一类错误会反复出现。复合函数与反函数探索器会显示图像在哪里通不过水平线测试，二次式结构探索器则帮助你找转折点。

如果用文字解释限制条件是最难的部分，老师可以在一对一线上附加数学补习中和你一起演练。