Fungsi mempunyai fungsi songsang hanya jika setiap output datang daripada tepat satu input. Fungsi banyak kepada satu (many-to-one) melanggar peraturan itu, jadi pada domain penuhnya ia tiada fungsi songsang. Menghadkan domain kepada satu sisi titik pusingan membetulkannya.
Soalan Matematik Tambahan sering meminta “terangkan mengapa f tiada fungsi songsang” dan kemudian “cari domain terbesar berbentuk x ≥ k yang membolehkan f⁻¹ wujud”. Ini menyusuli mencari fungsi songsang dan menyemak domainnya, dan berkait dengan kerja titik pusingan dalam struktur kuadratik dan pembeza tentu.
Bagaimana memutuskan sama ada fungsi songsang wujud?
- Uji dengan dua input. Cari nilai x berbeza yang berkongsi satu output. Bagi kuadratik, pasangan yang sama jauh di kedua-dua sisi titik pusingan sentiasa sepadan.
- Guna gambar. Garis mengufuk yang memotong graf lebih sekali bermaksud banyak kepada satu.
- Hadkan domain kepada satu sisi titik pusingan, termasuk titik pusingan itu sendiri.
- Cari fungsi songsang pada domain itu dan nyatakan domainnya sebagai julat f.
Contoh berlangkah
Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = x² − 6x + 5 untuk x nyata. Tunjukkan f tiada fungsi songsang, kemudian cari fungsi songsang apabila domain ialah x ≥ 3.
Langkah 1, lengkapkan kuasa dua: f(x) = (x − 3)² − 4. Titik pusingan berada pada x = 3.
Langkah 2, contoh penyangkal: f(0) = 5 dan f(6) = 36 − 36 + 5 = 5. Dua input berbeza memberi output yang sama, jadi f ialah banyak kepada satu dan tiada fungsi songsang pada semua x nyata.
Langkah 3, hadkan kepada x ≥ 3: pada selang ini f hanya menokok, jadi tiada output berulang. Julatnya ialah f(x) ≥ −4.
Langkah 4, cari fungsi songsang: y = (x − 3)² − 4, jadi (x − 3)² = y + 4. Oleh kerana x ≥ 3, ambil punca positif: x − 3 = √(y + 4), jadi x = 3 + √(y + 4).
Jawapan: f⁻¹(x) = 3 + √(x + 4), untuk x ≥ −4.
Semak: f(5) = 25 − 30 + 5 = 0, dan f⁻¹(0) = 3 + 2 = 5. Ia kembali kepada 5.
Kesilapan yang perlu diwaspadai
Kesilapan lazim ialah memilih sekatan yang nampak semula jadi tetapi tidak berada pada satu sisi titik pusingan, seperti x ≥ 0.
Jawapan yang salah: “Hadkan kepada x ≥ 0 dan fungsi songsang wujud.”
Pada x ≥ 0 kita masih ada f(1) = 1 − 6 + 5 = 0 dan f(5) = 0. Dua input, output sama, jadi ia masih banyak kepada satu.
Pembetulannya ialah bermula daripada titik pusingan. Di sini ia berada pada x = 3, jadi sekatan mesti x ≥ 3 atau x ≤ 3. Kedua-dua sisi membolehkan fungsi songsang wujud, tetapi rumus fungsi songsang berubah: bagi x ≤ 3 ia menjadi 3 − √(x + 4).
Semak kendiri
Cuba soalan ini, kemudian buka setiap jawapan.
1. Terangkan mengapa f(x) = x² − 4 untuk x nyata tiada fungsi songsang.
Tunjuk jawapan
f(1) = −3 dan f(−1) = −3. Dua input berbeza memberi output yang sama, jadi f ialah banyak kepada satu. Fungsi songsang terpaksa membawa −3 kembali kepada kedua-dua 1 dan −1, yang mustahil bagi sesuatu fungsi.
2. f(x) = (x + 1)² diberi untuk x nyata. Cari domain terbesar berbentuk x ≥ k yang membolehkan f⁻¹ wujud, dan cari f⁻¹(x).
Tunjuk jawapan
Titik pusingan berada pada x = −1, jadi k = −1. Pada x ≥ −1 julatnya ialah f(x) ≥ 0. Daripada y = (x + 1)² kita dapat x + 1 = √y, jadi f⁻¹(x) = √x − 1, untuk x ≥ 0. Semak: f(1) = 4 dan f⁻¹(4) = 2 − 1 = 1.
3. Adakah g(x) = x³ untuk semua x nyata mempunyai fungsi songsang?
Tunjuk jawapan
Ya. Setiap output datang daripada tepat satu input, contohnya 8 hanya daripada x = 2. Jadi g ialah satu kepada satu dan g⁻¹(x) = ∛x untuk semua x nyata, tanpa sekatan.
Ke mana selepas ini?
Dengan lima pelajaran di belakang anda, kerjakan set latihan fungsi dan sekatan dan catat jenis ralat yang berulang. Penjelajah gubahan dan songsang fungsi menunjukkan di mana graf gagal ujian garis mengufuk, dan penjelajah struktur kuadratik membantu anda mencari titik pusingan.
Jika menerangkan sekatan dengan perkataan ialah bahagian yang sukar, guru boleh melatihnya bersama anda dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.