Julat (range) fungsi pada domain terhad ialah set nilai output yang dihasilkan oleh input yang dibenarkan sahaja. Ubah selang dan julat boleh berubah, walaupun peraturan untuk f(x) kekal sama.
Soalan Matematik Tambahan menanyakannya secara langsung (“cari julat f”), dan ia menyediakan anda untuk membentuk fungsi gubahan serta mencari fungsi songsang, apabila julat satu fungsi menjadi domain fungsi lain.
Bagaimana membaca julat daripada domain?
Bayangkan graf di antara dua garis menegak pada hujung domain. Julat ialah betapa rendah dan betapa tinggi lengkung itu di antara kedua-duanya.
- Kenal pasti domain dan tandakan titik hujungnya pada lakaran kasar.
- Cari titik pusingan lengkung di dalam selang. Bagi kuadratik, lengkapkan kuasa dua untuk mencarinya.
- Nilaikan f pada kedua-dua titik hujung.
- Bandingkan semua nilai. Yang terkecil ialah hujung bawah julat dan yang terbesar ialah hujung atas.
- Tulis dengan ketaksamaan pada f(x).
Bagi garis lurus tiada titik pusingan, jadi langkah 3 dan 4 sudah memadai.
Contoh berlangkah
Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = x² − 4x + 3 untuk 0 ≤ x ≤ 5. Cari julat f.
Langkah 1, lengkapkan kuasa dua: x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1.
Langkah 2, titik pusingan: minimum ialah −1 pada x = 2. Nilai x = 2 terletak di dalam 0 ≤ x ≤ 5, jadi ia diambil kira.
Langkah 3, titik hujung: f(0) = 3. f(5) = 25 − 20 + 3 = 8. Semak dengan kuasa dua lengkap: (5 − 2)² − 1 = 9 − 1 = 8.
Langkah 4, bandingkan: nilainya ialah −1, 3 dan 8. Yang terkecil ialah −1 dan yang terbesar ialah 8.
Jawapan: julat ialah −1 ≤ f(x) ≤ 8.
Kesilapan yang perlu diwaspadai
Kesilapan lazim ialah menilai dua titik hujung sahaja dan menganggapnya output terkecil dan terbesar.
Jawapan yang salah: f(0) = 3 dan f(5) = 8, jadi 3 ≤ f(x) ≤ 8.
Lengkung itu jatuh ke −1 pada x = 2, yang terletak di antara dua titik hujung. Output terendah terlepas.
Pembetulannya ialah bertanya sama ada titik pusingan berada di dalam domain. Di sini ia berada, jadi ia menentukan minimum. Jika domain ialah 3 ≤ x ≤ 5, titik pusingan berada di luar, dan titik hujung sahaja memberi julat: f(3) = 0 dan f(5) = 8, jadi 0 ≤ f(x) ≤ 8.
Semak kendiri
Cari julat dalam setiap kes, kemudian buka jawapan.
1. f(x) = 2x − 1 untuk 1 ≤ x ≤ 4
Tunjuk jawapan
Ia garis lurus yang menokok. f(1) = 1 dan f(4) = 7. Julat: 1 ≤ f(x) ≤ 7.
2. g(x) = x² + 2 untuk −3 ≤ x ≤ 1
Tunjuk jawapan
Minimum ialah 2 pada x = 0, yang berada di dalam selang. g(−3) = 9 + 2 = 11 dan g(1) = 3. Yang terbesar ialah 11. Julat: 2 ≤ g(x) ≤ 11.
3. h(x) = 6 − (x − 1)² untuk 0 ≤ x ≤ 4
Tunjuk jawapan
Lengkung ini terbuka ke bawah, jadi titik pusingan pada x = 1 ialah maksimum 6, dan ia berada di dalam selang. h(0) = 5 dan h(4) = 6 − 9 = −3. Julat: −3 ≤ h(x) ≤ 6.
Ke mana selepas ini?
Langkah seterusnya ialah membentuk fungsi gubahan dalam susunan yang betul, yang memerlukan anda tahu output setiap fungsi. Jika melengkapkan kuasa dua masih perlahan, ulang kaji dalam struktur kuadratik dan pembeza tentu. Anda juga boleh menguji suatu peraturan pada selang dalam penjelajah gubahan dan songsang fungsi.
Jika anda faham julat tetapi teragak-agak nilai mana yang perlu dibaca, guru boleh menyemak lakaran anda bersama-sama dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.