Fungsi songsang (inverse function) membalikkan suatu fungsi: ia membawa setiap output f kembali kepada input yang menghasilkannya. Untuk mencari f⁻¹(x), tulis y = f(x), susun semula untuk menjadikan x perkara rumus, kemudian namakan semula pemboleh ubah. Untuk melengkapkan jawapan, anda juga perlu menyatakan domain f⁻¹.
Pelajaran ini dibina atas fungsi gubahan, kerana f⁻¹ ialah fungsi yang menjadikan f⁻¹f(x) = x. Ia membawa kepada soalan bilakah fungsi songsang tidak wujud.
Bagaimana mencari fungsi songsang?
- Tulis y = f(x).
- Susun semula untuk menjadikan x perkara rumus. Kumpulkan semua sebutan x di satu sisi dan faktorkan jika x muncul lebih sekali.
- Gantikan y dengan x untuk menulis f⁻¹(x).
- Cari julat f. Ini memberi domain f⁻¹.
- Semak dengan nombor: f⁻¹(f(a)) mesti mengembalikan a.
Contoh berlangkah
Fungsi f ditakrifkan oleh f(x) = (2x + 3)/(x − 1) untuk x ≠ 1. Cari f⁻¹(x) dan nyatakan domainnya.
Langkah 1: y = (2x + 3)/(x − 1).
Langkah 2, hapuskan pecahan: y(x − 1) = 2x + 3, jadi yx − y = 2x + 3.
Langkah 3, kumpulkan sebutan x: yx − 2x = y + 3, jadi x(y − 2) = y + 3.
Langkah 4, jadikan x perkara rumus: x = (y + 3)/(y − 2).
Langkah 5, namakan semula: f⁻¹(x) = (x + 3)/(x − 2).
Domain: tulis f(x) = (2(x − 1) + 5)/(x − 1) = 2 + 5/(x − 1). Sebutan 5/(x − 1) tidak pernah sifar, jadi f(x) tidak pernah sama dengan 2. Julat f ialah semua nilai nyata kecuali 2, jadi domain f⁻¹ ialah x ≠ 2. Ini sepadan dengan penyebut f⁻¹, yang sifar pada x = 2.
Semak: f(3) = 9/2 = 4.5. Kemudian f⁻¹(4.5) = 7.5/2.5 = 3. Ia kembali kepada 3.
Kesilapan yang perlu diwaspadai
Kesilapan lazim ialah menganggap f⁻¹ sebagai salingan f.
Jawapan yang salah: f⁻¹(x) = 1/f(x) = (x − 1)/(2x + 3).
Uji: f(3) = 4.5, jadi fungsi songsang sebenar mesti membawa 4.5 kembali kepada 3. Peraturan ini memberi (4.5 − 1)/(2 × 4.5 + 3) = 3.5/12 ≈ 0.29, bukan 3.
Pembetulannya ialah mengingati bahawa −1 ialah label untuk “songsang” dan bukan indeks. Fungsi songsang datang daripada menyusun semula untuk x, bukan daripada menyongsangkan pecahan. Satu semakan berangka, seperti dalam contoh berlangkah, mendedahkan kekeliruan itu dengan cepat.
Semak kendiri
Cari f⁻¹(x) dan domainnya jika diperlukan, kemudian buka jawapan.
1. f(x) = 3x − 5
Tunjuk jawapan
y = 3x − 5, jadi 3x = y + 5, jadi x = (y + 5)/3. f⁻¹(x) = (x + 5)/3, tertakrif untuk semua x nyata.
2. f(x) = x² + 1 untuk x ≥ 0
Tunjuk jawapan
y = x² + 1 memberi x² = y − 1, dan oleh kerana x ≥ 0 kita ambil punca positif: x = √(y − 1). f⁻¹(x) = √(x − 1). Julat f ialah f(x) ≥ 1, jadi domain f⁻¹ ialah x ≥ 1.
3. f(x) = 5/(x + 2) untuk x ≠ −2
Tunjuk jawapan
y(x + 2) = 5, jadi x + 2 = 5/y, jadi x = 5/y − 2. f⁻¹(x) = 5/x − 2, iaitu (5 − 2x)/x. Output f tidak pernah 0, jadi domainnya x ≠ 0. Semak: f(1) = 5/3, dan f⁻¹(5/3) = 3 − 2 = 1.
Ke mana selepas ini?
Pelajaran seterusnya yang sesuai ialah menerangkan pemetaan banyak kepada satu yang tiada fungsi songsang tanpa sekatan, yang menunjukkan mengapa domain lebih penting lagi. Latih seluruh modul dalam set latihan fungsi dan sekatan, dan gunakan penjelajah gubahan dan songsang fungsi untuk melihat graf f dan f⁻¹ berpantulan pada y = x.
Jika anda lambat atau tersilap semasa menyusun semula untuk x, guru boleh menyemak penyelesaian anda sendiri dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.