Fungsi gubahan (composite function) ialah satu fungsi yang dikenakan pada hasil fungsi lain. Dalam tatatanda fg(x), fungsi g bertindak dahulu dan f bertindak pada outputnya. Soalan Matematik Tambahan meminta anda menulis fg(x) atau gf(x) sebagai satu ungkapan, menilainya pada satu nilai, atau menyelesaikan persamaan seperti fg(x) = 49.
Pelajaran ini menyusuli mencari julat daripada domain terhad, kerana output fungsi dalam mesti nilai yang boleh diterima oleh fungsi luar.
Bagaimana membina fungsi gubahan?
Kaedah paling selamat ialah menganggap fungsi dalam sebagai kurungan dan meletakkannya di tempat x.
- Kenal pasti fungsi dalam. Dalam fg(x) ia ialah g, yang ditulis di sebelah x.
- Tulis fungsi luar dengan ruang kosong di tempat x, contohnya f( ) = 3( ) − 2.
- Letakkan keseluruhan g(x) dalam ruang itu, di dalam kurungan.
- Kembangkan dan permudahkan.
- Semak dengan nombor. Pilih x yang mudah, kira langkah demi langkah, dan bandingkan.
Contoh berlangkah
Diberi f(x) = 3x − 2 dan g(x) = x² + 1, cari fg(x) dan gf(x), kemudian selesaikan fg(x) = 49.
fg(x), g dahulu: fg(x) = f(x² + 1) = 3(x² + 1) − 2 = 3x² + 3 − 2 = 3x² + 1.
gf(x), f dahulu: gf(x) = g(3x − 2) = (3x − 2)² + 1 = 9x² − 12x + 4 + 1 = 9x² − 12x + 5.
Semak dengan x = 2. Bagi fg: g(2) = 5, kemudian f(5) = 13, dan 3(4) + 1 = 13. Bagi gf: f(2) = 4, kemudian g(4) = 17, dan 9(4) − 24 + 5 = 17. Kedua-duanya sepadan.
Selesaikan fg(x) = 49: 3x² + 1 = 49, jadi 3x² = 48, jadi x² = 16, jadi x = 4 atau x = −4.
Semak x = −4: g(−4) = 17, kemudian f(17) = 51 − 2 = 49. Ia betul.
Kesilapan yang perlu diwaspadai
Kesilapan lazim ialah menerapkan fungsi mengikut susunan huruf ditulis, sehingga fg(x) menjadi g dahulu kemudian f secara terbalik.
Penyelesaian yang salah: fg(x) = g(f(x)) = (3x − 2)² + 1 = 9x² − 12x + 5.
Ini sebenarnya gf(x). Pelajar menerapkan f dahulu, yang salah untuk fg.
Pembetulannya ialah membaca fg(x) sebagai f(g(x)): fungsi di sebelah x bertindak dahulu. Semakan berangka pada x = 2 akan mendedahkan kesilapan itu serta-merta, kerana fg(2) ialah 13, bukan 17.
Semak kendiri
Cuba soalan ini, kemudian buka setiap jawapan.
1. f(x) = x + 4 dan g(x) = 2x. Cari fg(x) dan gf(x).
Tunjuk jawapan
fg(x) = f(2x) = 2x + 4. gf(x) = g(x + 4) = 2(x + 4) = 2x + 8. Jadi fg(x) = 2x + 4 dan gf(x) = 2x + 8. Keduanya berbeza.
2. f(x) = 1/x untuk x ≠ 0, dan g(x) = x − 3. Cari fg(x) dan gf(x), dan nyatakan nilai yang dikecualikan bagi fg.
Tunjuk jawapan
fg(x) = f(x − 3) = 1/(x − 3), dengan x ≠ 3. gf(x) = g(1/x) = 1/x − 3, dengan x ≠ 0.
3. f(x) = 2x − 1 dan g(x) = x². Selesaikan fg(x) = 17.
Tunjuk jawapan
fg(x) = f(x²) = 2x² − 1. Maka 2x² − 1 = 17, jadi x² = 9, jadi x = 3 atau x = −3. Semak x = 3: g(3) = 9, f(9) = 17.
Ke mana selepas ini?
Fungsi gubahan menjadi asas kepada fungsi songsang, kerana f⁻¹ membatalkan f. Teruskan dengan mencari fungsi songsang dan menyemak domainnya. Penjelajah gubahan dan songsang fungsi menunjukkan fg dan gf bersebelahan untuk sebarang input yang anda pilih, dan pelatih kerja tanpa kalkulator membantu menyemak kurungan yang dikembangkan.
Jika anda sering tertukar antara fg dan gf, guru boleh menyemak penyelesaian anda sendiri dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu.