由受限定义域求值域

函数在受限定义域上的值域（range）是只由允许的输入所产生的输出值的集合。区间一变，值域可能就变，即使 f(x) 的规则没有改变。

附加数学题会直接问“求 f 的值域”，它也为按正确顺序构造复合函数和求反函数打基础，因为一个函数的值域会成为另一个函数的定义域。

怎样从定义域读出值域？

想象图像夹在定义域两端的两条竖线之间。值域就是曲线在这两条线之间最低到多低、最高到多高。

1. 确定定义域，并在草图上标出端点。
2. 找出区间内曲线的转折点。 二次函数可以用配方法找。
3. 计算 f 在两个端点的值。
4. 比较所有的值。 最小的是值域的下端，最大的是上端。
5. 用关于 f(x) 的不等式写出来。

直线没有转折点，所以做第 3 步和第 4 步就够了。

例题

函数 f 定义为 f(x) = x² − 4x + 3，0 ≤ x ≤ 5。求 f 的值域。

第 1 步，配方： x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1。

第 2 步，转折点： 最小值是 x = 2 时的 −1。x = 2 落在 0 ≤ x ≤ 5 之内，所以要算进去。

第 3 步，端点： f(0) = 3。f(5) = 25 − 20 + 3 = 8。用配方式检验：(5 − 2)² − 1 = 9 − 1 = 8。

第 4 步，比较： 各值为 −1、3 和 8。最小是 −1，最大是 8。

答案： 值域是 −1 ≤ f(x) ≤ 8。

要留意的错误

常见的失误是只算两个端点，并把它们当成最小和最大的输出。

错误答案： f(0) = 3，f(5) = 8，所以 3 ≤ f(x) ≤ 8。

曲线在 x = 2 处降到 −1，而 x = 2 在两个端点之间。最低的输出被漏掉了。

纠正方法是问一句：转折点在不在定义域之内？这里在，所以它决定最小值。如果定义域是 3 ≤ x ≤ 5，转折点就在区间之外，只用端点就能得出值域：f(3) = 0，f(5) = 8，所以 0 ≤ f(x) ≤ 8。

自我检测

求每一题的值域，再打开答案。

1. f(x) = 2x − 1，1 ≤ x ≤ 4

2. g(x) = x² + 2，−3 ≤ x ≤ 1

3. h(x) = 6 − (x − 1)²，0 ≤ x ≤ 4

接下来学什么

下一步是按正确顺序构造复合函数，这要求你知道每个函数能输出什么。如果配方还不够快，可以在二次式结构与判别式中复习。你也可以在复合函数与反函数探索器中试一个规则在某个区间上的表现。

如果你懂值域，却在该读哪个值时犹豫，老师可以在一对一线上附加数学补习中和你一起看你的草图。