这份练习有十二道原创题，由易到难，涵盖函数与限制条件的全部五课。第 1 至 3 题是关于定义域的热身，第 4、5 题是值域，第 6、7 题是复合函数，第 8、9 题是反函数，第 10 至 12 题综合运用。
每题先在纸上作答，并像考试那样把每个限制条件单独写成一行，然后再打开答案。标出做错的题，使用末尾的对照清单。
手算之后，可以用复合函数与反函数探索器检验答案。
题目
1. 写出 f(x) = 4/(x − 5) 的最大可能定义域。
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x − 5 = 0 时分母为零，所以 x = 5。
定义域：所有实数 x，但 x ≠ 5。
2. 写出 g(x) = (x + 2)/(x² − 9) 的最大可能定义域。
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x² − 9 = (x − 3)(x + 3) = 0 得 x = 3 或 x = −3。分子不用管。
定义域：所有实数 x，但 x ≠ 3 且 x ≠ −3。
3. 写出 h(x) = 2x/(x² + x − 12) 的最大可能定义域。
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x² + x − 12 = (x + 4)(x − 3) = 0 得 x = −4 或 x = 3。检验：16 − 4 − 12 = 0，9 + 3 − 12 = 0。
定义域：所有实数 x，但 x ≠ −4 且 x ≠ 3。
4. 函数 f 定义为 f(x) = 3x − 2，−1 ≤ x ≤ 4。求 f 的值域。
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f 是一条上升的直线，所以端点给出极值。f(−1) = −3 − 2 = −5，f(4) = 12 − 2 = 10。
值域：−5 ≤ f(x) ≤ 10。
5. 函数 f 定义为 f(x) = x² − 6x + 2，0 ≤ x ≤ 5。求 f 的值域。
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配方：f(x) = (x − 3)² − 7。最小值是 x = 3 时的 −7，在 0 ≤ x ≤ 5 之内。
端点：f(0) = 2，f(5) = 25 − 30 + 2 = −3。用配方式检验：(0 − 3)² − 7 = 2，(5 − 3)² − 7 = −3。最大是 2。
值域：−7 ≤ f(x) ≤ 2。
6. f(x) = 2x − 3，g(x) = x² + 1。求 fg(x) 和 gf(x)。
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fg(x) = f(x² + 1) = 2(x² + 1) − 3 = 2x² − 1。
gf(x) = g(2x − 3) = (2x − 3)² + 1 = 4x² − 12x + 9 + 1 = 4x² − 12x + 10。
用 x = 1 检验：g(1) = 2，f(2) = 1，而 2 − 1 = 1。又 f(1) = −1，g(−1) = 2，而 4 − 12 + 10 = 2。
fg(x) = 2x² − 1，gf(x) = 4x² − 12x + 10。
7. 使用第 6 题的函数，解 fg(x) = 17。
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2x² − 1 = 17，所以 2x² = 18，x² = 9。
x = 3 或 x = −3。 检验 x = 3：g(3) = 10，f(10) = 17。检验 x = −3：g(−3) 同样是 10。
8. 函数 f 定义为 f(x) = (3x − 1)/(x + 2)，x ≠ −2。求 f⁻¹(x) 并写出它的定义域。
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y(x + 2) = 3x − 1，所以 yx + 2y = 3x − 1，yx − 3x = −1 − 2y，x(y − 3) = −(1 + 2y)，x = (2y + 1)/(3 − y)。
f⁻¹(x) = (2x + 1)/(3 − x)。
f 的值域：f(x) = 3 − 7/(x + 2)，永远不等于 3。所以 f⁻¹ 的定义域是 x ≠ 3。
检验：f(1) = 2/3，f⁻¹(2/3) = (4/3 + 1)/(3 − 2/3) = (7/3)/(7/3) = 1。
9. 函数 f 定义为 f(x) = x² − 2，x ≥ 0。求 f⁻¹(x) 并写出它的定义域。
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y = x² − 2，所以 x² = y + 2，因为 x ≥ 0，x = √(y + 2)。
f⁻¹(x) = √(x + 2)。 f 的值域是 f(x) ≥ −2，所以 f⁻¹ 的定义域是 x ≥ −2。
检验：f(3) = 7，f⁻¹(7) = √9 = 3。
10. 函数 f 定义为 f(x) = x² − 8x + 3，x 为实数。证明 f 没有反函数。然后求形如 x ≥ k 的最大定义域使 f⁻¹ 存在，并求 f⁻¹(x)。
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f(0) = 3，f(8) = 64 − 64 + 3 = 3。两个不同的输入给出相同的输出，所以 f 是多对一，在全体实数上没有反函数。
配方：f(x) = (x − 4)² − 13。转折点在 x = 4，所以 k = 4。在 x ≥ 4 上，值域是 f(x) ≥ −13。
y = (x − 4)² − 13 得 x − 4 = √(y + 13)，所以 x = 4 + √(y + 13)。
f⁻¹(x) = 4 + √(x + 13)，x ≥ −13。 检验：f(6) = 36 − 48 + 3 = −9，f⁻¹(−9) = 4 + 2 = 6。
11. f(x) = 1/(x − 2)，x ≠ 2；g(x) = x + 5，x 为所有实数。求 fg(x) 和 gf(x)，并写出各自必须排除的 x 值。
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fg(x) = f(x + 5) = 1/(x + 5 − 2) = 1/(x + 3)。x = −3 时分母为零，所以 x ≠ −3。
gf(x) = g(1/(x − 2)) = 1/(x − 2) + 5。内层函数 f 排除 x = 2，所以 x ≠ 2。
12. 函数 f 定义为 f(x) = x² + 4x，x ≥ −2。求 f 的值域，再求 f⁻¹(x)，并用它算出 f⁻¹(5)。
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配方：f(x) = (x + 2)² − 4。最小值是 x = −2 时的 −4，x ≥ −2 时 f 上升。值域：f(x) ≥ −4。
y = (x + 2)² − 4 得 x + 2 = √(y + 4)，所以 x = −2 + √(y + 4)。
f⁻¹(x) = −2 + √(x + 4)，x ≥ −4。
f⁻¹(5) = −2 + √9 = −2 + 3 = 1。检验：f(1) = 1 + 4 = 5。
如果做错了
- 第 1 至 3 题，被排除的值错误或漏写： 回到求有理式的有效输入值。令原分母为零，不要先约分。
- 第 4、5 题，值域因转折点而出错： 回到由受限定义域求值域。始终问一句：转折点在不在区间之内？
- 第 6、7、11 题，顺序错误或漏写排除值： 回到按正确顺序构造复合函数。把 fg(x) 读成 f(g(x))，并用一个数字检验。
- 第 8、9、12 题，反函数或其定义域： 回到求反函数并检查其定义域。f⁻¹ 的定义域就是 f 的值域。
- 第 10 题，没有反函数或限制选错： 回到解释多对一映射。从转折点出发。
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