本模块把二次函数看成有多种写法的同一个东西：标准形式 ax² + bx + c、完成平方形式、因式分解形式，以及图像。附加数学很少只要求你“解方程”。题目更常要你判断交点情况、求字母的取值范围、找转折点（turning point），或根据已知条件写出方程。
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你需要先会什么？
你需要会展开括号、分解简单的二次式，并用公式解二次方程。分数和负数也要有把握，因为本模块多数错误都是符号错误。先学过函数与限制条件会有帮助，但不是必须。
示范例题
考虑 y = x² − 6x + 5，回答三件事：它的根、它的转折点，以及直线 y = −5 是否碰到它。
根： x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5)，所以根（roots）是 1 和 5。
转折点： 完成平方。x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4。转折点是 (3, −4)，最小值是 −4。
直线 y = −5： 令 x² − 6x + 5 = −5，得 x² − 6x + 10 = 0。判别式（discriminant）是 36 − 40 = −4，为负，所以直线与曲线没有交点。这与最小值 −4 吻合，因为曲线从未降到 −5。
检查： 当 x = 3 时，原式为 9 − 18 + 5 = −4，与完成平方后的结果一致。
同一个二次函数回答了三个不同的问题，三个答案还互相吻合。学会用这种方式互相验证，就是本模块的重点。
应该按什么顺序学习？
- 完成平方时不丢系数：能直接显示转折点和最小值的形式。
- 用判别式判断交点情况：不必解方程，就能知道直线与曲线相交几次。
- 由根还原二次方程：反方向的思路，用根的和与积。
- 把转折点与最小值联系起来：从完成平方形式读出最大值、最小值和值域。
- 解重根的参数条件：把判别式与含字母的代数结合起来。
然后做综合练习。当重根和因式都感觉自然之后，再学多项式的因式与余数。
哪些陷阱最常见？
- 完成平方时，忘了把多出的常数乘上 x² 的系数。
- 在方程还没整理成“= 0”之前就读取判别式。
- 把因式 (x + 3) 与根 x = −3 混淆，或在根的和与积中弄反符号。
- 把最小值写成 x 坐标，或者反过来。
- 把“有相等的实根”和“判别式为零”当成两个不同的条件。
如何使用练习？
先在纸上做每一题，再打开答案。像考试一样写出步骤，然后用二次函数结构探索器改变系数、观察图像来验证答案。
把每个失误按类型（符号、系数、用错形式）记进错题记录与重测队列，让下一次练习针对习惯而不是某一道题。如果你总是选错方法，可以在线上一对一附加数学补习里请老师一起看这份记录，带你做陌生题目。