对 y = a(x + p)² + q，转折点（turning point）是 (−p, q)。如果 a > 0，它是最小值，最小值为 q。如果 a < 0，它是最大值，最大值为 q。
这一课紧接着完成平方，属于二次函数结构与判别式，并直接用于值域和最优化的题目。
完成平方形式怎样显示转折点？
平方数不会是负数。在 2(x − 2)² + 3 中，括号部分在 x = 2 时为 0，其他时候为正。所以总和的最小值是 3，在 x = 2 时取得。
这就有三个相互独立的事实：位置 x = 2、数值 3 和点 (2, 3)。把它们分清楚，就能避免大多数答案格式上的错误。
怎样读出各部分？
- 完成平方，得到 a(x + p)² + q。
- 转折点的 x 坐标： 令括号为零，所以 x = −p。
- 转折点的 y 坐标： 就是 q。
- 由 a 的符号判断是最大还是最小。
- 由 q 写出值域，方向由曲线开口决定。
例题
函数是 f(x) = 2x² − 8x + 11。求转折点、最小值和 f 的值域。
第 1 步，完成平方： 2(x² − 4x) + 11 = 2[(x − 2)² − 4] + 11 = 2(x − 2)² − 8 + 11 = 2(x − 2)² + 3。
第 2 步，转折点： x − 2 = 0 得 x = 2，此处的值是 3。转折点是 (2, 3)。
第 3 步，类型： a = 2 为正，所以是最小值，最小值为 3。
第 4 步，值域： f(x) ≥ 3。
检查： f(2) = 8 − 16 + 11 = 3。另外 f(0) = 11，而 2(0 − 2)² + 3 = 11。
一个情境版本：球的高度是 h = −5t² + 20t + 1 米。
于是 h = −5(t² − 4t) + 1 = −5[(t − 2)² − 4] + 1 = −5(t − 2)² + 21。所以最大高度是 21 米，在 t = 2 秒时出现。检查：h(0) = −20 + 21 = 1。
要提防的错误
常见的失误是把括号里的符号直接抄进坐标。
错误答案： 对 2(x − 2)² + 3，转折点是 (−2, 3)
学生读的是括号中的“−2”，而不是使括号为零的那个值。
检验：f(−2) = 8 + 16 + 11 = 35，离最小值 3 差得很远。纠正的办法是每次都解“括号 = 0”，所以 (x − 2) 得 x = 2，(x + 2) 得 x = −2。
自我检测
1. 求 y = x² + 10x + 20 的转折点。
显示答案
x² + 10x + 20 = (x + 5)² − 25 + 20 = (x + 5)² − 5。转折点是 (−5, −5)。检查：25 − 50 + 20 = −5。
2. 求 7 + 6x − x² 的最大值，以及它出现时 x 的值。
显示答案
7 + 6x − x² = −(x² − 6x) + 7 = −[(x − 3)² − 9] + 7 = −(x − 3)² + 16。最大值是 16，在 x = 3 时出现。检查：7 + 18 − 9 = 16。
3. 对 f(x) = 3x² − 12x + 5，写出 f 的值域，并求 k 取何值时 f(x) = k 没有实数解。
显示答案
f(x) = 3(x² − 4x) + 5 = 3[(x − 2)² − 4] + 5 = 3(x − 2)² − 7。值域是 f(x) ≥ −7。当 k < −7 时没有实数解，因为曲线从不会低到那里。检查：f(2) = 12 − 24 + 5 = −7。
接下来学什么
下一课解重根的参数条件会把最小值与判别式联系起来。可以在二次函数结构探索器上试一试，转折点会显示在图像上；也可用不用计算器的步骤训练器练习运算。
如果“答对了数字却答错了对象”一直在让你丢分，我们的老师可以在线上一对一附加数学补习中，帮你建立适合你做题方式的检查习惯。