重根是什么意思？

重根指二次方程恰好有一个实数解，因为两个根相同。这发生在判别式 b² − 4ac 等于零时。你也可能看到“相等的根”或“与 x 轴相切”的说法，它们描述的是同一个条件。

怎样求有实根时 k 的范围？

有实根意味着 b² − 4ac ≥ 0，包括重根的情形。先写出含 k 的判别式，解出不等式；如果判别式本身是关于 k 的二次式，可以画草图帮助判断。有两个不同的实根则需要 b² − 4ac > 0，不含等号。

如果 k 是 x² 的系数，k = 0 会使方程变成一次方程，不再是二次方程。判别式只适用于二次方程，所以要检查答案是否使 x² 的系数变成零。遇到这样的值要舍去，并在解答中说明原因。

对含字母的二次方程，重根（repeated roots）意味着 b² − 4ac = 0。先写出含 k 的判别式，令它等于零，再解出 k。要求有实根时，改用 b² − 4ac ≥ 0。

这是二次函数结构与判别式的最后一课，把判别式、展开和因式分解结合在一起。

在用判别式判断交点情况中，你是令直线与曲线相等。这里方程已经给出，但某个系数未知。判别式变成关于 k 的式子，所以最后还要再解一个方程或不等式。

这里对展开的细心比平时更重要。丢掉一个交叉项，后面每一步的答案都会变。

求 k 取何值时 x² + (k − 3)x + k = 0 有重根。再求 k 取何值时它没有实根。

第 1 步： a = 1，b = k − 3，c = k。

第 2 步，判别式： (k − 3)² − 4(1)(k)。

第 3 步，展开： k² − 6k + 9 − 4k = k² − 10k + 9。

第 4 步，因式分解并令其为 0： (k − 1)(k − 9) = 0，所以 k = 1 或 k = 9。

检查 k = 1： x² − 2x + 1 = (x − 1)²，重根 x = 1。

检查 k = 9： x² + 6x + 9 = (x + 3)²，重根 x = −3。

没有实根： 判别式为负，即 (k − 1)(k − 9) < 0。这两个括号的积在两根之间为负，所以 1 < k < 9。用 k = 5 检查：25 − 50 + 9 = −16，为负。

常见的失误是把 (k − 3)² 展开成 k² − 9。

错误做法： (k − 3)² − 4k = k² − 9 − 4k = 0，得 k = 2 ± √13

平方括号时漏掉了中间项 −6k。

检验：k = 2 + √13 约为 5.6，落在没有实根的范围 1 < k < 9 之内。纠正的办法是把 (k − 3)(k − 3) 完整写出，逐项展开。

1. 求 k 取何值时 3x² + kx + 12 = 0 有相等的根。

显示答案

a = 3，b = k，c = 12。判别式是 k² − 4(3)(12) = k² − 144。令其为 0：k² = 144，所以 k = 12 或 k = −12。检查 k = 12：3x² + 12x + 12 = 3(x + 2)²。

2. k 取何值时 x² − 4x + k = 0 有两个不同的实根？

显示答案

判别式是 16 − 4k。有两个不同的实根需 16 − 4k > 0，所以 k < 4。检查 k = 4：x² − 4x + 4 = (x − 2)²，是重根，所以 k = 4 是边界，不包含在内。

3. 求 k 取何值时 kx² − 4x + k = 0 有重根。

显示答案

a = k，b = −4，c = k。判别式是 16 − 4k²。令其为 0：k² = 4，所以 k = 2 或 k = −2。两个值都不会使方程变成一次方程。检查 k = 2：2x² − 4x + 2 = 2(x − 1)²。

学完本模块后，请继续学多项式的因式与余数，再做综合练习。二次函数结构探索器可以让你滑动 k，观察判别式如何变号；不用计算器的步骤训练器适合练习展开时的运算。

如果含字母的代数是你信心下滑的地方，我们的老师可以在线上一对一附加数学补习中一步一步帮你重建。