这套练习有十一道原创题，由易到难，涵盖二次函数结构与判别式的全部五课。第 1 至 4 题是热身，第 5 至 8 题需要完整的方法，第 9 至 11 题综合多种技能。
请先在纸上做每一题。除非另有说明，答案请保持精确，并用每题答案中的代入检查。做题时，二次函数结构探索器和错题记录与重测队列是很好的帮手。
题目
1. 把 x² − 10x + 7 写成 (x + p)² + q 的形式。
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−10 的一半是 −5，(−5)² = 25。所以 x² − 10x + 7 = (x − 5)² − 25 + 7 = (x − 5)² − 18。检查 x = 0：25 − 18 = 7。
2. 把 4x² + 8x + 9 写成 a(x + p)² + q 的形式。
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4(x² + 2x) + 9 = 4[(x + 1)² − 1] + 9 = 4(x + 1)² − 4 + 9 = 4(x + 1)² + 5。检查 x = 1：4 + 8 + 9 = 21，而 4 × 4 + 5 = 21。
3. 求 2x² − 3x + 5 的判别式，并说明它对根意味着什么。
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a = 2，b = −3，c = 5。判别式是 (−3)² − 4(2)(5) = 9 − 40 = −31。为负，所以方程没有实根。
4. 求根为 5 和 −2 的二次方程。
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和 = 3，积 = −10。所以 x² − 3x − 10 = 0。检查 x = 5：25 − 15 − 10 = 0。检查 x = −2：4 + 6 − 10 = 0。方程是 x² − 3x − 10 = 0。
5. 求 y = x² + 6x + 4 的转折点，并说明它是最大值还是最小值。
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x² + 6x + 4 = (x + 3)² − 9 + 4 = (x + 3)² − 5。转折点是 (−3, −5)。因为 x² 的系数为正，所以是最小值。检查：9 − 18 + 4 = −5。
6. 求 k，使 kx² + 12x + 9 = 0 有相等的根。
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判别式是 144 − 4(k)(9) = 144 − 36k。令其为 0：k = 4。检查：4x² + 12x + 9 = (2x + 3)²，是重根。所以 k = 4。
7. 已知直线 y = x + c 和曲线 y = x² − 3x + 1。求 c 取何值时直线与曲线有两个不同的交点，以及相切时的切点。
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x² − 3x + 1 = x + c 得 x² − 4x + (1 − c) = 0。判别式是 16 − 4(1 − c) = 12 + 4c。有两个交点需 c > −3。c = −3 时相切：x² − 4x + 4 = 0，x = 2，y = 2 − 3 = −1。切点是 (2, −1)。检查：曲线在 x = 2 时为 4 − 6 + 1 = −1。
8. x² − 6x + 4 = 0 的根是 α 和 β。求根为 α² 和 β² 的方程。
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α + β = 6，αβ = 4。于是 α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 36 − 8 = 28，α²β² = 16。方程是 x² − 28x + 16 = 0。检查：原方程的根是 3 ± √5，平方后是 14 ± 6√5，和为 28，积为 196 − 180 = 16。
9. 对 f(x) = −2x² + 12x − 5，求 f 的最大值和 f 的值域。
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−2(x² − 6x) − 5 = −2[(x − 3)² − 9] − 5 = −2(x − 3)² + 18 − 5 = −2(x − 3)² + 13。最大值是 13，在 x = 3 时取得，所以值域是 f(x) ≤ 13。检查：f(3) = −18 + 36 − 5 = 13。
10. 求 k 的取值范围，使 x² + kx + k + 3 = 0 没有实根。
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判别式是 k² − 4(k + 3) = k² − 4k − 12 = (k − 6)(k + 2)。没有实根需 (k − 6)(k + 2) < 0，即 −2 < k < 6。检查 k = 0：x² + 3 = 0 没有实根。检查 k = 7：49 − 28 − 12 = 9，为正，所以范围之外有实根。
11. 曲线 y = 2x² − 8x + k 的最小值是 3。求 k，并求与 x 轴平行且与曲线相切的直线方程。
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2(x² − 4x) + k = 2[(x − 2)² − 4] + k = 2(x − 2)² − 8 + k。最小值是 k − 8，所以 k − 8 = 3，k = 11。在曲线最低点与它相切的直线是 y = 3。检查：x = 2 时 8 − 16 + 11 = 3。另一个检查：2x² − 8x + 11 = 3 得 2x² − 8x + 8 = 0，判别式 64 − 64 = 0。
如果做错了
- 第 1、2、9、11 题（完成平方、转折点）： 复习完成平方时不丢系数和把转折点与最小值联系起来。常见错误是忘了把多出的常数乘上 a。
- 第 3、7、10 题（判别式与交点）： 复习用判别式判断交点情况。读取 a、b、c 之前，先确认方程等于零。
- 第 4、8 题（根）： 复习由根还原二次方程。先写出模板 x² − (和)x + (积)，再填入。
- 第 6、10 题（k 的条件）： 复习解重根的参数条件。把 (k + 某数)² 完整展开。
把每个错误按类型记进错题记录，让下一次尝试针对习惯。如果同一类错误一再出现，我们的老师可以在线上一对一附加数学补习中查看你的解题过程。