Bagi kuadratik yang mempunyai huruf, punca berulang (repeated roots) bermaksud b² − 4ac = 0. Bentuk diskriminan dalam sebutan k, sama dengan sifar dan selesaikan untuk k. Bagi punca nyata, gunakan b² − 4ac ≥ 0.
Ini ialah pelajaran terakhir dalam struktur kuadratik dan diskriminan dan menggabungkan diskriminan, pengembangan dan pemfaktoran.
Apakah bezanya daripada pelajaran diskriminan terdahulu?
Dalam menggunakan diskriminan untuk persilangan, anda menyamakan garis dan lengkung. Di sini persamaan sudah diberi, tetapi satu pekali tidak diketahui. Diskriminan menjadi ungkapan dalam k, jadi anda berakhir dengan persamaan atau ketaksamaan lain untuk diselesaikan.
Kembangkan dengan teliti. Satu sebutan silang yang hilang akan mengubah setiap jawapan selepasnya.
Langkah
- Tulis persamaan sebagai ax² + bx + c = 0 dan senaraikan a, b dan c, yang mungkin mengandungi k.
- Bentuk b² − 4ac, dengan kurungan pada setiap bahagian yang mengandungi k.
- Kembangkan dan permudahkan kepada polinomial dalam k.
- Tetapkan kepada 0 untuk punca berulang, atau gunakan ketaksamaan untuk syarat lain.
- Selesaikan dan semak setiap nilai dengan menggantikannya ke dalam persamaan asal.
Contoh berlangkah
Cari nilai k supaya x² + (k − 3)x + k = 0 mempunyai punca berulang. Kemudian cari julat k supaya ia tiada punca nyata.
Langkah 1: a = 1, b = k − 3, c = k.
Langkah 2, diskriminan: (k − 3)² − 4(1)(k).
Langkah 3, kembangkan: k² − 6k + 9 − 4k = k² − 10k + 9.
Langkah 4, faktorkan dan tetapkan kepada 0: (k − 1)(k − 9) = 0, jadi k = 1 atau k = 9.
Semak k = 1: x² − 2x + 1 = (x − 1)², punca berulang x = 1.
Semak k = 9: x² + 6x + 9 = (x + 3)², punca berulang x = −3.
Tiada punca nyata: diskriminan negatif, jadi (k − 1)(k − 9) < 0. Hasil darab dua kurungan ini negatif di antara puncanya, jadi 1 < k < 9. Semak dengan k = 5: 25 − 50 + 9 = −16, negatif.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan biasa ialah mengkuasaduakan (k − 3) sebagai k² − 9.
Kerja yang salah: (k − 3)² − 4k = k² − 9 − 4k = 0, memberi k = 2 ± √13
Sebutan tengah −6k tercicir semasa mengkuasaduakan kurungan.
Uji: k = 2 + √13 ialah kira-kira 5.6, yang berada dalam julat 1 < k < 9 tempat punca tidak wujud. Pembetulannya ialah menulis (k − 3)(k − 3) sepenuhnya dan mengembangkannya sebutan demi sebutan.
Semak diri anda
1. Cari nilai k supaya 3x² + kx + 12 = 0 mempunyai punca sama.
Tunjukkan jawapan
a = 3, b = k, c = 12. Diskriminan ialah k² − 4(3)(12) = k² − 144. Tetapkan kepada 0: k² = 144, jadi k = 12 atau k = −12. Semak k = 12: 3x² + 12x + 12 = 3(x + 2)².
2. Bagi nilai k yang mana x² − 4x + k = 0 mempunyai punca nyata berbeza?
Tunjukkan jawapan
Diskriminan ialah 16 − 4k. Untuk punca nyata berbeza kita perlukan 16 − 4k > 0, jadi k < 4. Semak pada k = 4: x² − 4x + 4 = (x − 2)², berulang, jadi k = 4 ialah sempadan dan dikecualikan.
3. Cari nilai k supaya kx² − 4x + k = 0 mempunyai punca berulang.
Tunjukkan jawapan
a = k, b = −4, c = k. Diskriminan ialah 16 − 4k². Tetapkan kepada 0: k² = 4, jadi k = 2 atau k = −2. Kedua-duanya tidak menjadikan persamaan linear. Semak k = 2: 2x² − 4x + 2 = 2(x − 1)².
Ke mana selepas ini?
Selepas modul ini, teruskan ke faktor dan baki polinomial, kemudian cuba set latihan campuran. Penjelajah struktur kuadratik membolehkan anda menggerakkan k dan melihat diskriminan bertukar tanda, dan pelatih kerja tanpa kalkulator sesuai untuk aritmetik pengembangan.
Jika anda tersilap apabila pekali mengandungi huruf seperti k, guru kami boleh menyemak langkah anda satu demi satu dalam tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu.