Untuk mengelaskan cara garis bertemu lengkung, samakan persamaan keduanya, susun kepada kuadratik sama dengan sifar, dan lihat b² − 4ac (diskriminan, discriminant). Positif bermaksud dua titik, sifar bermaksud garis ialah tangen, dan negatif bermaksud tiada persilangan.
Kemahiran ini terdapat dalam struktur kuadratik dan diskriminan dan kembali apabila anda menyelesaikan persamaan serentak dan masalah yang mempunyai parameter.
Mengapa diskriminan menentukan bilangan persilangan?
Koordinat x tempat garis dan lengkung bertemu ialah penyelesaian bagi “garis = lengkung”. Itu ialah kuadratik dalam x. Rumus kuadratik mengandungi punca kuasa dua bagi b² − 4ac, jadi tanda nombor itu menentukan sama ada punca kuasa dua wujud dan sama ada dua nilai bercantum menjadi satu.
Anda tidak perlu mencari titik-titiknya untuk mengelaskan keadaan. Ini menjimatkan masa dalam soalan yang hanya bertanya “berapa kali” atau “bagi nilai k yang mana”.
Bagaimana menyediakan soalan?
- Samakan persamaan garis dan lengkung.
- Pindahkan semua sebutan ke satu sebelah supaya persamaan menjadi ax² + bx + c = 0.
- Tulis a, b dan c dengan tandanya, termasuk huruf seperti k.
- Bentuk b² − 4ac dan permudahkan.
- Gunakan peraturan: lebih besar daripada 0 untuk dua titik, sama dengan 0 untuk tangen, kurang daripada 0 untuk tiada.
Contoh berlangkah
Lengkungnya ialah y = x² − 4x + 5 dan garisnya ialah y = 2x + k. Cari nilai k supaya garis bertemu lengkung pada dua titik berbeza, dan cari titik sentuhan apabila garis ialah tangen.
Langkah 1, samakan: x² − 4x + 5 = 2x + k.
Langkah 2, susun: x² − 6x + (5 − k) = 0.
Langkah 3, kenal pasti: a = 1, b = −6, c = 5 − k.
Langkah 4, diskriminan: (−6)² − 4(1)(5 − k) = 36 − 20 + 4k = 16 + 4k.
Langkah 5, gunakan peraturan: dua titik apabila 16 + 4k > 0, iaitu k > −4. Tangen apabila k = −4. Tiada persilangan apabila k < −4.
Titik sentuhan pada k = −4: x² − 6x + 9 = 0, jadi (x − 3)² = 0 dan x = 3. Maka y = 2(3) − 4 = 2.
Semakan: lengkung pada x = 3 memberi 9 − 12 + 5 = 2. Kedua-duanya sepadan, jadi titik sentuhan ialah (3, 2).
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan biasa ialah membaca a, b dan c sebelum memindahkan sebutan.
Kerja yang salah: x² − 4x + 5 = 2x + k, jadi a = 1, b = −4, c = 5 − k, memberi 16 − 4(5 − k) = 4k − 4. Tangen apabila k = 1.
2x di sebelah kanan tidak pernah digabung dengan −4x, jadi b salah.
Uji jawapan: pada k = 1 persamaan ialah x² − 6x + 4 = 0, yang diskriminannya 36 − 16 = 20, bukan 0. Pembetulannya ialah memudahkan sepenuhnya kepada ”= 0” sebelum membaca sebarang pekali.
Semak diri anda
1. Adakah garis y = x − 2 bertemu lengkung y = x² + 3x + 1?
Tunjukkan jawapan
x² + 3x + 1 = x − 2 memberi x² + 2x + 3 = 0. Diskriminan ialah 2² − 4(1)(3) = 4 − 12 = −8. Ia negatif, jadi garis tidak bertemu lengkung.
2. Berapa kali y = 3x² − 2x − 1 memotong paksi-x?
Tunjukkan jawapan
Tetapkan y = 0. Diskriminan ialah (−2)² − 4(3)(−1) = 4 + 12 = 16, positif. Jadi ia memotong dua kali. Semak: puncanya ialah (2 ± 4)/6 = 1 dan −1/3.
3. Garis y = 2x + k bertemu lengkung y = x² − 2x + 6. Cari k apabila garis ialah tangen, dan titik sentuhannya.
Tunjukkan jawapan
x² − 2x + 6 = 2x + k memberi x² − 4x + (6 − k) = 0. Diskriminan ialah 16 − 4(6 − k) = 4k − 8. Tangen apabila k = 2. Maka x² − 4x + 4 = 0, jadi x = 2 dan y = 2(2) + 2 = 6. Titik sentuhan (2, 6). Semak: lengkung pada x = 2 memberi 4 − 4 + 6 = 6.
Ke mana selepas ini?
Cuba selesaikan syarat parameter untuk punca berulang, yang menggunakan idea sama pada persamaan yang mempunyai huruf. Penjelajah struktur kuadratik menunjukkan diskriminan dan graf bersama, dan pelatih kerja tanpa kalkulator membantu mengekalkan aritmetik anda tepat.
Jika langkah penyediaan ialah tempat markah anda hilang, guru kami boleh menyemak soalan anda sendiri dalam tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu.