Untuk melengkapkan kuasa dua (completing the square) bagi ax² + bx + c, faktorkan a daripada sebutan x, tambah dan tolak kuasa dua bagi separuh pekali baharu, kemudian darabkan sebutan yang ditolak dengan a. Hasilnya ialah a(x + p)² + q.
Kemahiran ini muncul dalam pelajaran awal struktur kuadratik dan diskriminan dan kembali dalam titik pusingan, bulatan dan pengamiran kemudian.
Bagaimana kaedah ini berfungsi apabila a bukan 1?
Tujuannya ialah membentuk kuasa dua sempurna daripada sebutan x sahaja. Apabila a = 1, ia terus. Apabila a ≠ 1, keluarkan a daripada sebutan x² dan x dahulu supaya kurungan bermula dengan x² semula.
- Faktorkan a daripada sebutan x² dan x sahaja. Biarkan c di luar.
- Ambil separuh pekali x dalam kurungan dan kuasa duakan.
- Tambah dan tolak nilai itu di dalam kurungan.
- Tulis kuasa dua sempurna, dengan sebutan yang ditolak kekal dalam kurungan.
- Darabkan sebutan baki dengan a untuk mengeluarkannya, kemudian gabungkan dengan c.
Contoh berlangkah
Tulis 2x² − 12x + 7 dalam bentuk a(x + p)² + q, dan nyatakan nilai minimum.
Langkah 1, faktorkan a daripada sebutan x: 2x² − 12x + 7 = 2(x² − 6x) + 7.
Langkah 2, separuh daripada −6 ialah −3, dan (−3)² = 9.
Langkah 3, tambah dan tolak 9 dalam kurungan: 2(x² − 6x + 9 − 9) + 7.
Langkah 4, kuasa dua sempurna: 2[(x − 3)² − 9] + 7.
Langkah 5, darabkan −9 dengan 2: 2(x − 3)² − 18 + 7 = 2(x − 3)² − 11.
Nilai minimum ialah −11, pada x = 3, kerana 2(x − 3)² tidak pernah negatif.
Semakan: pada x = 0, bentuk asal memberi 7 dan bentuk baharu memberi 2 × 9 − 11 = 7. Pada x = 1, bentuk asal memberi 2 − 12 + 7 = −3 dan bentuk baharu memberi 2 × 4 − 11 = −3. Kedua-duanya sepadan.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan paling lazim ialah membiarkan −9 tidak didarab.
Jawapan yang salah: 2(x − 3)² − 9 + 7 = 2(x − 3)² − 2
Pelajar mengekalkan 2 di hadapan kurungan tetapi terlupa bahawa −9 juga berada di dalam 2[ ].
Uji pada x = 0: bentuk salah memberi 2 × 9 − 2 = 16, tetapi bentuk asal ialah 7. Pembetulannya ialah menulis kurungan luar dengan jelas, 2[(x − 3)² − 9], dan mengembangkan 2 ke atas kedua-dua sebutan sebelum digabung dengan c.
Semak diri anda
Gunakan semakan penggantian pada setiap soalan.
1. Lengkapkan kuasa dua: x² + 8x + 3.
Tunjukkan jawapan
Separuh daripada 8 ialah 4, dan 4² = 16. Jadi x² + 8x + 3 = (x + 4)² − 16 + 3 = (x + 4)² − 13. Semak pada x = 0: 16 − 13 = 3.
2. Tulis 3x² + 12x − 5 dalam bentuk a(x + p)² + q.
Tunjukkan jawapan
3(x² + 4x) − 5 = 3[(x + 2)² − 4] − 5 = 3(x + 2)² − 12 − 5 = 3(x + 2)² − 17. Semak pada x = 0: 12 − 17 = −5.
3. Tulis 5 − 4x − x² dalam bentuk kuasa dua lengkap dan nyatakan nilai terbesarnya.
Tunjukkan jawapan
Tulis sebagai −x² − 4x + 5 = −(x² + 4x) + 5 = −[(x + 2)² − 4] + 5 = −(x + 2)² + 9. Nilai terbesar ialah 9, pada x = −2. Semak pada x = 1: 5 − 4 − 1 = 0, dan −9 + 9 = 0.
Ke mana selepas ini?
Seterusnya, lihat bagaimana bentuk yang sama menunjukkan nilai minimum dalam hubungkan titik pusingan dengan nilai minimum, dan bagaimana diskriminan memberitahu tentang punca dalam guna diskriminan untuk mengelaskan persilangan. Penjelajah struktur kuadratik membolehkan anda menukar a, b dan c dan melihat kuasa dua lengkap dikemas kini, manakala pelatih kerja tanpa kalkulator sesuai untuk mengekalkan pecahan tepat.
Jika anda terlupa mendarab pekali apabila x² ada nombor di hadapan, guru dalam tuisyen Additional Mathematics dalam talian satu dengan satu boleh menyemak langkah anda satu demi satu.