没有直角的三角形，如果你有一条边和它的对角，就用正弦定理（sine rule）；如果你有两条边和它们之间的夹角，或者三条边都已知，就用余弦定理（cosine rule）。这个决定应该在按计算器之前，根据已知条件做出。
这一课接在直角三角形三角函数之后，那里处理的是有直角的情况。请对照 Cambridge 最新课程大纲确认你所考的层级，因为这些定理属于 Extended 内容。
两条定理各需要什么？
先标记三角形：边 a 对着角 A，边 b 对着角 B，边 c 对着角 C。两条定理写作：
- 正弦定理： a/sin A = b/sin B = c/sin C
- 余弦定理： a² = b² + c² − 2bc cos A
正弦定理把每条边和它的对角联系起来。你需要一组完整的组合（一条边和它的对角），再加上一项其他信息。
余弦定理把三条边和一个角联系起来。当还没有完整组合时，它就是合适的工具。
一个简单的判断流程
- 把已知的边和角标在图上。
- 问：有没有一条边和它的对角同时已知？如果有，用正弦定理。
- 如果没有，再问：是否知道两条边和它们的夹角（included angle），或者三条边都已知？用余弦定理。
- 代入数字之前，先用你自己的字母写出公式。
如果题目给了两个角，先用内角和 180° 求出第三个角，这样就能造出你需要的组合。
例题 1：正弦定理
在三角形 ABC 中，∠A = 38°，∠B = 75°，BC = 9.2 cm。求 AC。
第 1 步，标记： BC 对着 A，所以 a = 9.2。AC 对着 B，所以 b 是未知数。
第 2 步，选择： a 和 A 组成完整组合，而且 ∠B 已知，用正弦定理。
第 3 步，代入： b / sin 75° = 9.2 / sin 38°。
第 4 步，整理： b = 9.2 × sin 75° ÷ sin 38° = 8.887 ÷ 0.6157 = 14.43。
答案： AC = 14.4 cm（三位有效数字）。
例题 2：余弦定理
在三角形 PQR 中，PQ = 7 cm，PR = 10 cm，∠P = 52°。求 QR。
第 1 步，选择： 没有边与对角的组合，但 52° 位于两条已知边之间，用余弦定理。
第 2 步，代入： QR² = 7² + 10² − 2 × 7 × 10 × cos 52° = 149 − 140 × 0.6157。
第 3 步，先乘后减： 140 × 0.6157 = 86.19，所以 QR² = 62.81。
第 4 步，开方： QR = 7.925。
答案： QR = 7.93 cm（三位有效数字）。
要留意的错误
常见的错误是在余弦定理中先减后乘。
错误做法： 7² + 10² − 2 × 7 × 10 = 9，再 9 × cos 52° = 5.54，所以 QR = 2.35。
学生把整个式子当成了 (49 + 100 − 140) × cos 52°。
2bc cos A 是一个乘积，要最先算出来，之后才从 b² + c² 中减去。
一个好的检查方法是问答案是否合理：QR 不可能比另外两边之差（3 cm）还短。2.35 cm 通不过这个检查，7.93 cm 则通过。
自我检测
1. 一个三角形的三边是 6 cm、8 cm 和 11 cm，要求其中一个角。应该先用哪条定理？
查看答案
没有任何一条边的对角是已知的，但三边都已知，所以用余弦定理。
2. 在三角形 XYZ 中，∠X = 50°，∠Y = 60°，XZ = 12 cm。求 YZ。
查看答案
XZ 对着 Y，YZ 对着 X。正弦定理：YZ / sin 50° = 12 / sin 60°。所以 YZ = 12 × 0.7660 ÷ 0.8660 = 10.61，即 10.6 cm。
3. 一个三角形的两边为 5 cm 和 8 cm，它们之间的夹角是 120°。求第三边。
查看答案
余弦定理：x² = 25 + 64 − 2 × 5 × 8 × cos 120° = 89 − 80 × (−0.5) = 89 + 40 = 129。所以 x = 11.36，即 11.4 cm。钝角使余弦为负，因此第三边比两条已知边都长。
接下来学什么
把同样的判断用到方向问题上：先学方位角与北线，再学两段行程图。三角形与方位角推理板会要求你先说出要用哪条定理再计算，有助于养成习惯；免计算器解题训练器则帮助你练习算术。
公式都会用，却总在选哪条定理时犹豫？一对一线上数学补习的老师会让你先说出手上有哪些已知条件，再选定理。