这套练习有十一道原创题，由易到难，涵盖非直角三角形与方位角的全部五课。第 1 到 4 题是热身，第 5 到 8 题需要完整的方法，第 9 到 11 题综合多项技能，并检查是否有第二个三角形。
请把计算器设为角度（degree）模式。每题先画图，答案取三位有效数字，角度取一位小数，除非题目另有说明。做题时，三角形与方位角推理板和错题记录与重测队列是很好的帮手。
题目
1. 下列各情形应先用哪条定理：(a) 三边为 7、9、12，求一个角；(b) ∠A = 40°，∠B = 65°，a = 8，求 b；(c) 已知两边及它们之间的夹角，求第三边？
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(a) 没有已知的角，三边都已知：余弦定理。(b) 边 a 与它的对角 A，外加 ∠B：正弦定理。(c) 两边及夹角：余弦定理。
2. (a) 把 9° 写成三位数方位角。(b) E 相对于 F 的方位角是 072°，求 F 相对于 E 的方位角。(c) G 相对于 H 的方位角是 305°，求 H 相对于 G 的方位角。
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(a) 009°。(b) 72° 小于 180°，所以加：72° + 180° = 252°。(c) 305° 大于 180°，所以减：305° − 180° = 125°。
3. 一个人沿方位角 250° 走了 15 km。他在出发点的西面和南面各多远？
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与正南线的夹角是 250° − 180° = 70°。西 = 15 × sin 70° = 15 × 0.9397 = 14.10 km。南 = 15 × cos 70° = 15 × 0.3420 = 5.13 km。检查：14.10² + 5.13² = 198.8 + 26.3 = 225.1，接近 15² = 225。他在出发点的西面 14.1 km、南面 5.13 km。
4. 在三角形 ABC 中，∠A = 64°，∠B = 48°，BC = 11.5 cm。求 AC。
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BC 对着 A，AC 对着 B。正弦定理：AC / sin 48° = 11.5 / sin 64°。AC = 11.5 × 0.7431 ÷ 0.8988 = 8.546 ÷ 0.8988 = 9.508。所以 AC = 9.51 cm。
5. 在三角形 PQR 中，PQ = 8.3 cm，PR = 5.6 cm，∠P = 71°。求 QR。
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余弦定理：QR² = 8.3² + 5.6² − 2 × 8.3 × 5.6 × cos 71° = 68.89 + 31.36 − 92.96 × 0.3256 = 100.25 − 30.26 = 69.99。所以 QR = 8.366，即 QR = 8.37 cm。要先乘后减。
6. 一个三角形的三边是 7 cm、9 cm 和 12 cm。求最大的角。
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最大的角对着最长的边，也就是 12 cm。cos θ = (7² + 9² − 12²) ÷ (2 × 7 × 9) = (49 + 81 − 144) ÷ 126 = −14 ÷ 126 = −0.1111。所以 θ = 96.4°。余弦为负，说明这个角是钝角。
7. 一个三角形的两边是 14 cm 和 9 cm，它们之间的夹角是 48°。求面积。
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面积 = ½ × 14 × 9 × sin 48° = 63 × 0.7431 = 46.82。所以面积是 46.8 cm²。
8. 一艘船从 A 沿方位角 075° 航行 12 km 到 B，再沿方位角 160° 航行 9 km 到 C。求 (a) ∠ABC，(b) 距离 AC，(c) C 相对于 A 的方位角。
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(a) A 相对于 B 的方位角是 075° + 180° = 255°。∠ABC = 255° − 160° = 95°。
(b) 余弦定理：AC² = 12² + 9² − 2 × 12 × 9 × cos 95° = 225 + 216 × 0.08716 = 225 + 18.83 = 243.8。AC = 15.61，即 15.6 km。
(c) 正弦定理：sin A = 9 × sin 95° ÷ 15.61 = 9 × 0.9962 ÷ 15.61 = 0.5742，所以 ∠BAC = 35.0°。方位角 = 075° + 35.0° = 110°。
检查：东 = 12 sin 75° + 9 sin 160° = 11.59 + 3.08 = 14.67；北 = 12 cos 75° + 9 cos 160° = 3.11 − 8.46 = −5.35。该点在 A 的东面偏南，从正北量起的角是 110.0°。
9. 一个三角形的面积是 27 cm²，其中两边是 10 cm 和 6.5 cm。求这两边之间夹角的两个可能大小。
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27 = ½ × 10 × 6.5 × sin C = 32.5 sin C。所以 sin C = 27 ÷ 32.5 = 0.8308。锐角是 56.2°，钝角是 180° − 56.2° = 123.8°。答案：56.2° 或 123.8°。两者正弦值相同，所以都给出 27 cm² 的面积。
10. 在三角形 ABC 中，∠A = 28°，BC = 7 cm，AB = 12 cm。(a) 解释为什么可能有两个三角形。(b) 求 ∠C 的两个可能大小。
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(a) c sin A = 12 × 0.4695 = 5.63。因为 5.63 < 7 < 12，边 a 可以在两个位置与第三条边相交，所以可能有两个三角形。
(b) sin C = 12 × sin 28° ÷ 7 = 0.8048。C = 53.6° 或 180° − 53.6° = 126.4°。检查内角和：28° + 53.6° = 81.6°，28° + 126.4° = 154.4°。两者都小于 180°，所以两个三角形都存在。
11. 一块三角形的田地 PQR，PQ = 120 m，QR = 150 m，∠Q = 62°。求 (a) 田地的面积，(b) 长度 PR。
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(a) 面积 = ½ × 120 × 150 × sin 62° = 9000 × 0.8829 = 7946.5。所以是 7950 m²（三位有效数字）。
(b) 余弦定理：PR² = 120² + 150² − 2 × 120 × 150 × cos 62° = 36 900 − 36 000 × 0.4695 = 36 900 − 16 901 = 19 999。所以 PR = 141.4，即 141 m。
如果做错了
把每一种错误对应到能改正它的那一课。
| 出了什么问题 | 回到哪一课 |
|---|---|
| 不确定先用哪条定理（第 1、4、5、6 题） | 选择合适的正弦或余弦关系 |
| 方位角没写成三位数，或反方位角算错（第 2、3 题） | 始终如一地用北线处理方位角 |
| 两段行程中内角用错（第 8 题） | 解开两段行程的示意图 |
| 面积用的角不在两边之间，或只给出一个角（第 7、9、11 题） | 由两边及夹角求面积 |
| 有两个三角形却只找到一个（第 9、10 题） | 计算之前先解释不确定的图形 |
免计算器解题训练器帮助你处理这些题目里出现的精确值，错题记录与重测队列则把你反复出现的错误集中记在一处。
同一种错误一再出现时，一对一线上数学补习的老师可以看你从头到尾做一道题，找出问题出在选定理、画图还是计算。