两段行程其实是一个没有直角的三角形：起点、转折点和终点。先求转折点处三角形内部的角，用余弦定理求直线距离，再用一个角得出最终方位角。
学这一课之前，请先熟悉方位角与北线，以及选择正弦或余弦定理。
解题计划
- 画出三个点，并在每个方位角的出发点画一条北线。
- 在草图上标出两段路程的长度。
- 利用平行的北线，求出转折点处的内角。
- 选定理：两条边加夹角，就用余弦定理。
- 用正弦定理求起点处的角，再与第一段的方位角相加或相减。
- 对照草图和粗略的比例图检查答案。
例题
一艘船离开港口 P，沿方位角 040° 航行 10 km 到 Q，再沿方位角 120° 航行 14 km 到 R。求 PR 的距离，以及 R 相对于 P 的方位角。
第 1 步，Q 处的内角： P 相对于 Q 的方位角是 040° + 180° = 220°。R 相对于 Q 的方位角是 120°。QP 与 QR 之间的角是 220° − 120° = 100°。
第 2 步，距离： 两条边（10 和 14）加夹角（100°），用余弦定理。
PR² = 10² + 14² − 2 × 10 × 14 × cos 100° = 296 − 280 × (−0.1736) = 296 + 48.62 = 344.6
PR = 18.56，所以 PR = 18.6 km。
第 3 步，P 处的角： 正弦定理，sin P / 14 = sin 100° / 18.56。
sin P = 14 × 0.9848 ÷ 18.56 = 0.7427，所以 ∠QPR = 47.96°，即 48.0°。它是锐角，因为钝角所对的边最长，另外两个角必定较小。
第 4 步，最终方位角： 第一段是 040°，R 还要再顺时针偏 48.0°。40° + 48.0° = 88.0°。
答案： PR = 18.6 km，R 相对于 P 的方位角是 088°。
用分量检查： 东 = 10 sin 40° + 14 sin 120° = 6.43 + 12.12 = 18.55 km。北 = 10 cos 40° + 14 cos 120° = 7.66 − 7 = 0.66 km。R 几乎就在 P 的正东方，与 088° 吻合。
要留意的错误
常见的错误是用错了转折点处的内角。
错误做法： “方位角是 040° 和 120°，所以 Q 处的角是 120° − 40° = 80°。”
学生直接把两段路线的方位角相减，没有把第一个方位角转过来。P 相对于 Q 的方位角是反方位角 220°，不是 040°。
另一种情形是 40° + 120° = 160°。改正方法是：在 Q 画北线，分别顺时针量到 QP 和 QR。两条边之间的差，即 220° − 120°，才是内角。
自我检测
1. 一位登山者沿方位角 000° 走了 6 km，再沿方位角 090° 走了 8 km。求离起点的距离，以及相对于起点的最终方位角。
查看答案
两段路线互相垂直。距离 = √(6² + 8²) = √100 = 10 km。偏离正北向东的角是 tan⁻¹(8/6) = 53.13°，所以方位角是 053°。
2. Q 相对于 P 的方位角是 050°，R 相对于 Q 的方位角是 140°。求 ∠PQR。
查看答案
P 相对于 Q 的方位角是 050° + 180° = 230°。所以 ∠PQR = 230° − 140° = 90°。
3. 一艘船沿方位角 090° 航行 15 km，再沿方位角 200° 航行 20 km。求转折点处的角，以及离起点的距离。
查看答案
起点相对于转折点的方位角是 270°。角 = 270° − 200° = 70°。余弦定理：d² = 15² + 20² − 2 × 15 × 20 × cos 70° = 625 − 600 × 0.3420 = 625 − 205.2 = 419.8。所以 d = 20.49，即 20.5 km。
接下来学什么
用同一个三角形，可以在已知两边及夹角求面积中求出它的面积。三角形与方位角推理板让你在计算前先检验内角，免计算器解题训练器帮助你练习计算。之后可以用综合练习检查自己的做法。
行程题的分数，有很大一部分来自示意图，而不是公式。我们的老师在一对一线上数学补习中，会先看你怎么画草图，再看你怎么计算。