当题目给你两条边和一个不在它们之间的角时，三角形可能有两种形状、一种，或者根本没有。请在计算之前先解释是哪一种情形，然后用内角和 180° 检查你求出的每一个角。
这一课延伸自选择正弦或余弦定理。两个角共用同一个正弦值的想法，也出现在已知两边及夹角求面积中。
为什么会有两个三角形？
正弦定理给出 sin C = c × sin A ÷ a，反正弦返回的是锐角。但 180° 减去这个值所得的钝角，正弦值相同。两者都可能符合。
可以这样想象：固定角 A 和边 c，把边 a 像一扇门那样摆动。
如果 a 够长，它只会碰到第三条边一次。如果长度在中间范围，它可以在两个位置碰到。如果太短，就永远碰不到。
计算之前可以做的检验
取已知的角 A（锐角）、它的对边 a，以及另一条已知边 c。
- 求高 c × sin A。
- 如果 a 小于这个高，没有三角形。
- 如果 a 等于这个高，有一个直角三角形。
- 如果 a 介于这个高和 c 之间，有两个三角形。
- 如果 a 不小于 c，有一个三角形。
例题
在三角形 ABC 中，∠A = 35°，BC = 6 cm，AB = 9 cm。求 ∠C，并解释这个情形。
第 1 步，检验： a = 6，c = 9。高是 9 × sin 35° = 5.16。因为 5.16 < 6 < 9，所以有两个可能的三角形。
第 2 步，正弦定理： sin C = 9 × sin 35° ÷ 6 = 0.8604。
第 3 步，两个角： C = 59.4° 或 C = 180° − 59.4° = 120.6°。
第 4 步，检查内角和： 35° + 59.4° = 94.4°，小于 180°，有效。35° + 120.6° = 155.6°，小于 180°，同样有效。
第 5 步，完成每个三角形：
- 如果 C = 59.4°，则 B = 85.6°，AC = 6 × sin 85.6° ÷ sin 35° = 10.4 cm。
- 如果 C = 120.6°，则 B = 24.4°，AC = 6 × sin 24.4° ÷ sin 35° = 4.31 cm。
答案： ∠C 是 59.4° 或 120.6°，两个三角形的 AC 分别是 10.4 cm 或 4.31 cm。
要留意的错误
常见的错误是算到计算器给出的答案就停下来。
错误答案： “C = 59.4°。”
学生没有先检验情形，所以第二个有效的三角形一直没有被发现。
改正方法是把第 1 步的检验变成习惯：把 a 与 c sin A 和 c 比较。如果检验显示只有一个三角形，锐角就够了。如果显示有两个，就要把两个都写出来并检查。
自我检测
1. 一个三角形中，∠A = 40°，a = 5 cm，c = 10 cm。可能有几个三角形？
查看答案
c sin A = 10 × 0.6428 = 6.43。因为 a = 5 小于 6.43，这条边太短，够不到。没有三角形。（用正弦定理会得到 sin C = 1.29，这是不可能的。）
2. ∠A = 50°，a = 8 cm，c = 6 cm。可能有几个三角形？∠C 是多少？
查看答案
因为 a = 8 大于 c = 6，只有一个三角形。sin C = 6 × 0.7660 ÷ 8 = 0.5745，所以 C = 35.1°。钝角 144.9° 会使内角和达到 194.9°，超过 180°，所以舍去。
3. ∠A = 30°，a = 7 cm，c = 10 cm。可能有几个三角形？
查看答案
c sin A = 10 × 0.5 = 5。因为 5 < 7 < 10，有两个三角形。
接下来学什么
到本单元练习做一套综合题，其中有两道题出现了第二个三角形。三角形与方位角推理板会要求你在计算前先做这样的解释，免计算器解题训练器帮助你处理正弦值。
明白第二个答案为什么存在，和背下相关的规则是两回事。一对一线上数学补习的老师可以用你自己画的图来检验你是否真正理解。