当三角形有两条已知边，以及它们之间的夹角时，面积等于 ½ × a × b × sin C。你不需要垂直的高，而且不论三角形有没有直角，这条公式都适用。
这一课排在选择正弦或余弦定理之后。请在 Cambridge 官网确认你所考的层级，因为它属于 Extended 内容。
公式从哪里来？
常用的面积公式是 ½ × 底 × 高。在边 a 与边 b 相交于角 C 的三角形中，取 a 为底。从边 b 的另一端到底边的高是 b × sin C。
所以面积 = ½ × a × (b sin C) = ½ab sin C。角 C 是 a 与 b 之间的夹角，因此可以直接从图上读出。
怎样使用
- 找出两条边，确认这个角位于它们之间。
- 代入 ½ab sin C。
- 写上平方单位（cm²、m²），最后才四舍五入。
要求未知的角，就把公式变形：sin C = 2 × 面积 ÷ (ab)，再用反正弦。
例题 1：求面积
一个三角形的两边是 9.4 cm 和 6.8 cm，它们之间的夹角是 57°。
第 1 步： a = 9.4，b = 6.8，C = 57°。这个角位于两条边之间。
第 2 步： 面积 = ½ × 9.4 × 6.8 × sin 57° = 31.96 × 0.8387 = 26.80。
答案： 26.8 cm²（三位有效数字）。
例题 2：求角度
一个三角形的面积是 40 cm²，两边是 10 cm 和 12 cm，它们之间的夹角是锐角。求这个角。
第 1 步： 40 = ½ × 10 × 12 × sin C = 60 sin C。
第 2 步： sin C = 40 ÷ 60 = 0.6667。
第 3 步： C = sin⁻¹(0.6667) = 41.81°。
答案： 41.8°。“锐角”这两个字很重要。如果是钝角，就是 180° − 41.81° = 138.2°，两者的正弦值相同。
要留意的错误
常见的错误是用了不在两条边之间的角。
错误做法： 三角形 ABC 中，AB = 9 cm，BC = 12 cm，∠A = 40°。学生写成面积 = ½ × 9 × 12 × sin 40° = 34.7 cm²。
∠A 位于 AB 与 AC 之间，而不是 AB 与 BC 之间。
正确的做法是找出 AB 与 BC 之间的角，也就是 ∠B。先求 sin C = 9 × sin 40° ÷ 12 = 0.4821，所以 C = 28.8°。再求 B = 180° − 40° − 28.8° = 111.2°。
现在面积 = ½ × 9 × 12 × sin 111.2° = 54 × 0.9325 = 50.4 cm²。错误的 34.7 cm² 远小于正确值，如果做一次粗略的合理性检查（边长 9 和 12 的三角形，这个面积合理吗？），就能发现问题。
自我检测
1. 两边是 12 cm 和 15 cm，它们之间的夹角是 30°。求面积。
查看答案
面积 = ½ × 12 × 15 × sin 30° = 90 × 0.5 = 45 cm²。
2. 一个三角形的面积是 35 cm²，两边是 8 cm 和 14 cm，它们之间的夹角是锐角。求这个角。
查看答案
35 = ½ × 8 × 14 × sin C = 56 sin C。所以 sin C = 0.625，C = 38.7°（三位有效数字）。
3. 一个等边三角形的边长是 6 cm。求它的面积。
查看答案
每个角都是 60°。面积 = ½ × 6 × 6 × sin 60° = 18 × 0.8660 = 15.59，即 15.6 cm²。
接下来学什么
例题 2 中那个对应的钝角，正是下一课的起点：计算之前先解释不确定的图形。你也可以回到两段行程图，求出所形成三角形的面积。免计算器解题训练器帮助你处理 sin 30° 这类精确值，综合练习则检验整个单元。
面积题常常藏着第二步，例如要先求缺少的角。一对一线上数学补习的老师可以帮你在代入数字之前发现它。