求驻点的方法是：求导，令 dy/dx = 0，解出 x，再把每个 x 代入原方程求 y。答案是一对坐标，而不只是 x 的值。
这项技能是驻点与最优化的起点，之后每一课都会用到。它依赖求导技巧中的法则。
什么样的点是驻点？
导数 dy/dx 衡量曲线的梯度。梯度为零时，切线是水平的，曲线在那一瞬间既不上升也不下降。
想象山顶或谷底，那一刻你走在平地上。最优化题最终要的就是那里的高度。
怎样一步步找出驻点
- 对 x 求导，如有负指数或分数指数，先写成指数形式。
- 令 dy/dx = 0 并因式分解或求解。三次函数的导数是二次式，通常可以因式分解。
- 解出所有 x。二次导数可能给出两个值。
- 把每个 x 代入 y，也就是原方程。
- 把每个答案写成点，例如 (1, 6)。
例题
求 y = x³ − 6x² + 9x + 2 的驻点。
**第 1 步，求导：**dy/dx = 3x² − 12x + 9。
**第 2 步，令其为零：**3x² − 12x + 9 = 0。两边除以 3，得 x² − 4x + 3 = 0。
第 3 步，求解：(x − 1)(x − 3) = 0，所以 x = 1 或 x = 3。
第 4 步，代入 y：
x = 1 时：y = 1 − 6 + 9 + 2 = 6。
x = 3 时：y = 27 − 54 + 27 + 2 = 2。
**第 5 步，答案：**驻点是 (1, 6) 和 (3, 2)。
快速检查：x³ 项为正的三次函数先上升、再下降、再上升，所以第一个点 (1, 6) 是局部高点，第二个点 (3, 2) 是局部低点，6 > 2 正好吻合。
要留意的错误
常见的失误是把 x 值代入 dy/dx，或一开始就令 y = 0。
**错误做法：**x = 1 时 3(1) − 12 + 9 = 0，所以点是 (1, 0)。
学生重新用了导数，而导数按构造本来就是零，却把它当成 y 坐标。
纠正的办法是记住每个方程衡量什么：导数给出梯度，原方程给出高度。解出 dy/dx = 0 之后，每个 x 都要代回 y。
自我检测
不用计算器做下面的题，再打开答案。
1. 求 y = x² − 8x + 3 的驻点。
显示答案
dy/dx = 2x − 8 = 0，所以 x = 4。于是 y = 16 − 32 + 3 = −13。
(4, −13)
2. 求 y = 2x³ − 3x² − 12x 的驻点。
显示答案
dy/dx = 6x² − 6x − 12 = 6(x² − x − 2) = 6(x − 2)(x + 1)，所以 x = 2 或 x = −1。
x = 2 时：y = 16 − 12 − 24 = −20。x = −1 时：y = −2 − 3 + 12 = 7。
(2, −20) 和 (−1, 7)
3. 求 y = x + 4/x（x ≠ 0）的驻点。
显示答案
写成 y = x + 4x⁻¹，则 dy/dx = 1 − 4x⁻² = 1 − 4/x²。令其为零得 x² = 4，所以 x = 2 或 x = −2。
x = 2 时：y = 2 + 2 = 4。x = −2 时：y = −2 − 2 = −4。
(2, 4) 和 (−2, −4)
接下来学什么
找到点只完成了一半。下一步用合适的方法判断驻点类型，确定每个点是最大值、最小值还是都不是。免计算器演算训练器有助于保持代入运算的准确。
有些学生每一步都看得懂，但导数不是整齐的二次式时就卡住了。一对一线上附加数学补习的老师可以看出你究竟在哪一步犹豫。