判断驻点类型时，检验二阶导数的符号，或检验该点两侧梯度的符号。d²y/dx² 为正是最小值，为负是最大值，为零则必须改用梯度检验。
这一课接在求驻点之后，并直接服务于建立目标函数，因为那时你需要证明所得的最优值确实是最大值或最小值。
两种检验，同一个道理
两种检验问的都是：经过这个点时，梯度发生了什么变化。
在最小值处，梯度由负变零再变正，像山谷。在最大值处，梯度由正变零再变负，像山丘。二阶导数 d²y/dx² 是梯度的变化率，所以为正表示梯度在增加，与山谷吻合。
怎样一步步判断
- 由 dy/dx = 0 求出驻点的 x 值。
- 再求一次导，得到 d²y/dx²。
- 把每个 x 代入 d²y/dx²：为正是最小值，为负是最大值。
- 如果结果为零，在该点左右各取一个值，检验 dy/dx 的符号。
- 连同点一起写出结论：“(1, 4) 是最大值”。
例题
求 y = 2x³ − 9x² + 12x − 1 的驻点并判断类型。
**第 1 步，一阶导数：**dy/dx = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2)，所以 x = 1 或 x = 2。
第 2 步，y 值：
x = 1 时：y = 2 − 9 + 12 − 1 = 4。
x = 2 时：y = 16 − 36 + 24 − 1 = 3。
**第 3 步，二阶导数：**d²y/dx² = 12x − 18。
第 4 步，代入：
x = 1：12 − 18 = −6，为负，所以 (1, 4) 是最大值。
x = 2：24 − 18 = 6，为正，所以 (2, 3) 是最小值。
最大值 4 比最小值 3 大，乍看有点奇怪，但它们是局部的高点和低点，这个三次函数在 x = 2 之后会继续上升。
要留意的错误
常见的失误是把 d²y/dx² = 0 当成拐点的证据。
**错误做法：**对 y = x⁴，x = 0 时 d²y/dx² = 12x² = 0，所以 x = 0 是拐点。
学生以为二阶导数为零就一定是拐点。
纠正的办法是检验梯度。
这里 dy/dx = 4x³。x = −1 时为 −4（负），x = 1 时为 4（正），梯度由负变正，所以 x = 0 是最小值。真正的驻拐点，其两侧的梯度符号是相同的。
自我检测
不用计算器做下面的题，再打开答案。
1. 求 y = x³ − 3x 的驻点并判断类型。
显示答案
dy/dx = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)，所以 x = 1 或 x = −1。d²y/dx² = 6x。
x = 1：y = −2，d²y/dx² = 6 > 0，所以 (1, −2) 是最小值。
x = −1：y = 2，d²y/dx² = −6 < 0，所以 (−1, 2) 是最大值。
2. 对 y = x⁴，用梯度证明 x = 0 是最小值。
显示答案
dy/dx = 4x³。x = −0.5 时为 −0.5（负），x = 0.5 时为 0.5（正）。梯度由负变正，所以 x = 0 是最小值。
3. 对 y = x³，解释为什么 (0, 0) 不是最大值或最小值。
显示答案
dy/dx = 3x²，在 x = 0 两侧都为正，只在 x = 0 处为零。梯度没有改变符号，所以 (0, 0) 是驻拐点。
接下来学什么
掌握分类之后，进入由约束条件建立目标函数。二次函数结构探索器可以让你看到二次函数的转折点与它的二阶导数之间的关系。
如果你会做微积分，但选哪种检验仍然像随意决定，一对一附加数学补习能让你和老师把这个决定过程讲清楚。