建立目标函数的方法是：写出要求最大或最小的量，再用约束条件替换掉一个变量，只留下一个。这样才能求导。
这是驻点与最优化的核心技能，建立在求驻点和判断驻点类型之上。
三行设置法
每道最优化题都可以用三行开头。
- **目标：**写出要优化的量的公式，例如 A = xy。
- **约束：**把固定条件写成方程，例如 2x + y = 60。
- **代入：**把约束变形成某个变量，代入目标，得到单变量函数。
如果这三行写得整齐，其余就是前面几课中“求导、解方程、判断类型”的老套路。
例题
一个长方形的周长是 36 cm，求使面积最大的尺寸。
**第 1 步，变量：**设两边为 x cm 和 y cm。
**第 2 步，约束：**周长给出 2x + 2y = 36，所以 x + y = 18，y = 18 − x。
**第 3 步，目标函数：**A = xy = x(18 − x) = 18x − x²。
**第 4 步，求导：**dA/dx = 18 − 2x。令其为零得 x = 9，于是 y = 18 − 9 = 9。
**第 5 步，判断类型：**d²A/dx² = −2，为负，所以是最大值。
**第 6 步，答案：**最大面积是 9 × 9 = 81 cm²，此时长方形是边长 9 cm 的正方形。
另一个靠墙的例子
农夫用 60 m 围栏围成羊圈的三条边，第四条边靠墙。两条边各为 x m，与墙平行的边为 y m，约束是 2x + y = 60。所以 y = 60 − 2x，A = 60x − 2x²，在 x = 15 时取最大值 A = 450 m²。
注意，约束条件并不总是“周长固定”的样子。看清哪几条边需要围栏，本身就是这项技能的一部分。
要留意的错误
常见的失误是把约束写错，或还没消去变量就去求导。
**错误做法：**A = xy，所以 dA/dx = y。
学生把 y 当成常数，可是 x 变化时 y 也跟着变。
纠正的办法是：y 通过约束条件依赖于 x，所以要先替换掉它。
以靠墙的题为例，如果写成 y = 60 − x（错的，因为有两条边长为 x），就会得到 A = 60x − x²，在 x = 30 时最大，答案也就错了。务必对照带标记的草图检查约束。
自我检测
不用计算器做下面的题，再打开答案。
1. 两个数的和是 12，求可能的最大乘积。
显示答案
设两数为 x 和 12 − x。P = x(12 − x) = 12x − x²。dP/dx = 12 − 2x = 0，得 x = 6。d²P/dx² = −2 < 0，所以是最大值。
最大乘积 = 6 × 6 = 36
2. 两个数的和是 10，求它们平方和的最小值。
显示答案
S = x² + (10 − x)² = 2x² − 20x + 100。dS/dx = 4x − 20 = 0，得 x = 5。d²S/dx² = 4 > 0，所以是最小值。
最小平方和 = 25 + 25 = 50
3. 一个长方形周长为 50 cm，把面积写成单变量函数并求最大面积。
显示答案
x + y = 25，所以 y = 25 − x，A = 25x − x²。dA/dx = 25 − 2x = 0，得 x = 12.5，y = 12.5。d²A/dx² = −2 < 0，是最大值。
最大面积 = 12.5 × 12.5 = 156.25 cm²
接下来学什么
下一课讨论 x 的范围受限时会怎样：除了驻点值，也要检查端点。如果你想多练习把一个式子代入另一个式子，可以试试函数复合与反函数探索器。
一对一线上附加数学补习的老师常从这项技能开始，因为设置整齐之后，其余部分会短得多。