Untuk membina fungsi objektif, tulis kuantiti yang hendak dimaksimumkan atau diminimumkan, kemudian gunakan kekangan untuk menggantikan satu pemboleh ubah supaya tinggal satu sahaja. Barulah anda boleh membezakan.
Ini kemahiran teras dalam titik pegun dan pengoptimuman. Ia dibina atas mencari titik pegun dan mengelaskannya.
Penyediaan tiga baris
Setiap masalah pengoptimuman boleh dimulakan dengan tiga baris.
- Objektif: tulis formula untuk apa yang dioptimumkan, seperti A = xy.
- Kekangan: tulis syarat tetap sebagai persamaan, seperti 2x + y = 60.
- Gantian: susun kekangan untuk satu pemboleh ubah dan masukkan ke dalam objektif, supaya menjadi fungsi satu pemboleh ubah.
Jika anda boleh menulis tiga baris ini dengan kemas, selebihnya ialah rutin bezakan, selesaikan dan kelaskan yang sama seperti pelajaran terdahulu.
Contoh berlangkah
Sebuah segi empat tepat mempunyai perimeter 36 cm. Cari ukuran yang memberi luas terbesar.
Langkah 1, pemboleh ubah: katakan sisinya x cm dan y cm.
Langkah 2, kekangan: perimeter memberi 2x + 2y = 36, jadi x + y = 18 dan y = 18 − x.
Langkah 3, fungsi objektif: A = xy = x(18 − x) = 18x − x².
Langkah 4, bezakan: dA/dx = 18 − 2x. Menyamakannya dengan sifar memberi x = 9, kemudian y = 18 − 9 = 9.
Langkah 5, kelaskan: d²A/dx² = −2, iaitu negatif, jadi ini ialah maksimum.
Langkah 6, jawapan: luas terbesar ialah 9 × 9 = 81 cm², apabila segi empat tepat itu ialah segi empat sama 9 cm kali 9 cm.
Contoh lain dengan dinding
Seorang petani menggunakan 60 m pagar pada tiga sisi kandang, dengan sisi keempat bersandar pada dinding. Dengan sisi x m (dua sisi) dan y m (selari dengan dinding), kekangannya ialah 2x + y = 60. Jadi y = 60 − 2x dan A = 60x − 2x², yang mempunyai maksimum pada x = 15 dan A = 450 m².
Kekangan tidak selalu berbunyi “perimeter tetap”. Anda perlu membaca sisi mana yang memerlukan pagar.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah menulis kekangan dengan salah, atau cuba membezakan sebelum menyingkirkan pemboleh ubah.
Kerja yang salah: A = xy, jadi dA/dx = y.
Pelajar menganggap y sebagai pemalar, tetapi y berubah apabila x berubah.
Pembetulannya ialah y bergantung pada x melalui kekangan, jadi gantikannya dahulu.
Bagi masalah dinding, menggunakan y = 60 − x (salah, kerana dua sisi berpanjang x) akan memberi A = 60x − x², maksimum pada x = 30 dan jawapan yang salah. Sentiasa semak kekangan dengan lakaran berlabel.
Semak kendiri
Cuba soalan ini tanpa kalkulator, kemudian buka setiap jawapan.
1. Dua nombor berjumlah 12. Cari hasil darab terbesar yang mungkin.
Tunjuk jawapan
Katakan nombor itu x dan 12 − x. P = x(12 − x) = 12x − x². dP/dx = 12 − 2x = 0 memberi x = 6. d²P/dx² = −2 < 0, jadi ia maksimum.
Hasil darab terbesar = 6 × 6 = 36
2. Dua nombor berjumlah 10. Cari nilai terkecil bagi hasil tambah kuasa dua kedua-duanya.
Tunjuk jawapan
S = x² + (10 − x)² = 2x² − 20x + 100. dS/dx = 4x − 20 = 0 memberi x = 5. d²S/dx² = 4 > 0, jadi ia minimum.
Hasil tambah kuasa dua terkecil = 25 + 25 = 50
3. Sebuah segi empat tepat mempunyai perimeter 50 cm. Tulis luasnya sebagai fungsi satu pemboleh ubah dan cari luas terbesar.
Tunjuk jawapan
x + y = 25, jadi y = 25 − x dan A = 25x − x². dA/dx = 25 − 2x = 0 memberi x = 12.5, jadi y = 12.5. d²A/dx² = −2 < 0, iaitu maksimum.
Luas terbesar = 12.5 × 12.5 = 156.25 cm²
Ke mana selepas ini
Pelajaran seterusnya membincangkan julat x yang dihadkan: semak titik hujung serta nilai pegun. Penjelajah gubahan dan songsangan fungsi mungkin membantu jika anda mahu lebih latihan menggantikan satu ungkapan ke dalam yang lain.
Dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu, guru anda boleh menyemak tiga baris penyediaan ini dahulu, kerana penyediaan yang kemas memendekkan seluruh penyelesaian.