Untuk mentafsir nilai optimum, semak nilai pegun terhadap domain yang dibenarkan, kemudian nyatakan jawapan dengan unit dan satu ayat dalam konteks. Jika nilai pegun berada di luar domain, optimum berada di titik hujung.
Pelajaran ini menggabungkan membina fungsi objektif dan menyemak titik hujung. Ia melengkapkan titik pegun dan pengoptimuman.
Apakah maksud “domain” dalam masalah sebenar?
Dalam soalan matematik tulen, domain mungkin dinyatakan: 0 ≤ x ≤ 5.
Dalam masalah bercerita, anda menentukannya daripada situasi. Panjang ialah positif, masa bermula pada sifar, dinding mempunyai panjang tetap, dan barang yang dijual ialah nombor bulat.
Had ini menukar satu baris algebra menjadi jawapan sebenar, dan ia sering menentukan di mana optimum berada.
Cara menamatkan soalan pengoptimuman, langkah demi langkah
- Tulis domain sebagai ketaksamaan daripada konteks, termasuk sebarang had yang diberi dalam masalah.
- Cari nilai x pegun dan semak ia berada di dalam domain.
- Jika di dalam, kelaskannya. Jika di luar, bandingkan titik hujung.
- Kira nilai optimum dengan unitnya.
- Tulis satu ayat yang menamakan pemboleh ubah, nilai dan unit.
Contoh berlangkah
Seorang petani menggunakan 60 m pagar pada tiga sisi kandang, dengan sisi keempat bersandar pada dinding yang hanya 25 m panjang. Cari luas terbesar yang mungkin.
Langkah 1, penyediaan: sisi x m (dua sisi) dan y m sepanjang dinding. Kekangannya ialah 2x + y = 60, jadi y = 60 − 2x, dan A = x(60 − 2x) = 60x − 2x².
Langkah 2, domain: dinding panjangnya 25 m, jadi y ≤ 25. Ini bermakna 60 − 2x ≤ 25, jadi x ≥ 17.5. Juga y > 0 bermakna x < 30. Domainnya ialah 17.5 ≤ x ≤ 30.
Langkah 3, titik pegun: dA/dx = 60 − 4x = 0 memberi x = 15. Tetapi 15 berada di luar domain, jadi tidak dibenarkan.
Langkah 4, titik hujung:
Pada x = 17.5: A = 60(17.5) − 2(17.5)² = 1050 − 612.5 = 437.5.
Pada x = 30: A = 1800 − 1800 = 0.
Langkah 5, kesimpulan: luas terbesar ialah 437.5 m², apabila x = 17.5 m dan y = 25 m.
Semakan: 17.5 × 25 = 437.5. Yang paling banyak boleh dilakukan petani ialah menggunakan seluruh dinding.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah memberi optimum tanpa had tanpa mengujinya terhadap domain.
Jawapan yang salah: luas maksimum ialah 450 m² apabila x = 15 m.
Pelajar menyelesaikan kalkulus dengan betul tetapi terlupa dinding hanya 25 m, sedangkan x = 15 memerlukan y = 30 m.
Pembetulannya ialah menulis domain pada baris berasingan sebelum menamatkan jawapan. Gantikan nilai pegun semula ke dalam setiap syarat dalam soalan, termasuk yang tidak anda gunakan untuk membentuk fungsi.
Semak kendiri
Cuba soalan ini tanpa kalkulator, kemudian buka setiap jawapan.
1. Ketinggian sebiji bola ialah h = 30t − 5t² meter selepas t saat, untuk 0 ≤ t ≤ 5. Cari tinggi maksimum dan bilakah ia berlaku.
Tunjuk jawapan
dh/dt = 30 − 10t = 0 memberi t = 3, di dalam domain. h = 90 − 45 = 45. Terbitan kedua ialah −10, jadi ia maksimum. Semak hujung: h(0) = 0 dan h(5) = 150 − 125 = 25.
Tinggi maksimum ialah 45 m, dicapai selepas 3 saat.
2. Keuntungan harian sebuah kedai ialah P = 40x − 2x² − 50 ringgit apabila x barang dijual, dengan 0 ≤ x ≤ 8. Cari keuntungan terbesar.
Tunjuk jawapan
dP/dx = 40 − 4x = 0 memberi x = 10, yang berada di luar 0 ≤ x ≤ 8. Bandingkan titik hujung: P(0) = −50 dan P(8) = 320 − 128 − 50 = 142.
Keuntungan terbesar ialah RM142, apabila 8 barang dijual.
3. Keuntungan bagi x barang bulat ialah P = −x² + 7x − 3 ringgit. Cari nilai x bulat yang memberi keuntungan terbesar dan keuntungan itu.
Tunjuk jawapan
dP/dx = −2x + 7 = 0 memberi x = 3.5, yang bukan nombor bulat. Bandingkan nombor bulat terdekat: P(3) = −9 + 21 − 3 = 9 dan P(4) = −16 + 28 − 3 = 9.
Menjual 3 barang atau 4 barang kedua-duanya memberi keuntungan terbesar RM9.
Ke mana selepas ini
Gunakan seluruh modul dalam set latihan campuran. Latihan kerja tanpa kalkulator dan penjelajah struktur kuadratik memberi cara tambahan untuk menyemak pengiraan.
Jika soalan yang mencampurkan penyediaan, kalkulus dan domain terasa terlalu banyak sekali gus, guru dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu boleh memecahkannya kepada bahagian kecil bersama anda.