Untuk mengelaskan titik pegun, uji tanda terbitan kedua, atau tanda kecerunan pada kedua-dua belah titik itu. d²y/dx² positif bermaksud minimum, negatif bermaksud maksimum, dan sifar bermaksud anda mesti menggunakan ujian kecerunan.
Pelajaran ini menyambung mencari titik pegun. Anda memerlukannya dalam membina fungsi objektif, apabila anda mesti menunjukkan bahawa optimum itu benar-benar maksimum atau minimum.
Dua ujian, satu idea
Kedua-dua ujian menyemak bagaimana kecerunan berubah apabila anda melalui titik itu.
Pada minimum, kecerunan berubah daripada negatif kepada sifar kepada positif, seperti lembah. Pada maksimum, ia berubah daripada positif kepada sifar kepada negatif, seperti bukit. Terbitan kedua d²y/dx² ialah kadar perubahan kecerunan, jadi positif bermaksud kecerunan bertambah, yang sepadan dengan lembah.
Cara mengelaskan, langkah demi langkah
- Cari nilai x pegun daripada dy/dx = 0.
- Bezakan sekali lagi untuk mendapat d²y/dx².
- Gantikan setiap x ke dalam d²y/dx². Positif memberi minimum, negatif memberi maksimum.
- Jika hasilnya sifar, pilih nilai sedikit di kiri dan di kanan titik itu dan uji tanda dy/dx.
- Tulis kesimpulan bersama titik: “(1, 4) ialah maksimum”.
Contoh berlangkah
Cari dan kelaskan titik pegun bagi y = 2x³ − 9x² + 12x − 1.
Langkah 1, terbitan pertama: dy/dx = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2). Jadi x = 1 atau x = 2.
Langkah 2, nilai y:
Apabila x = 1: y = 2 − 9 + 12 − 1 = 4.
Apabila x = 2: y = 16 − 36 + 24 − 1 = 3.
Langkah 3, terbitan kedua: d²y/dx² = 12x − 18.
Langkah 4, gantikan:
Pada x = 1: 12 − 18 = −6, iaitu negatif, jadi (1, 4) ialah maksimum.
Pada x = 2: 24 − 18 = 6, iaitu positif, jadi (2, 3) ialah minimum.
Nilai maksimum 4 lebih besar daripada nilai minimum 3. Ini mungkin kelihatan ganjil pada mulanya, tetapi ini ialah puncak dan lembah setempat, dan bagi kubik ini lengkung terus menaik selepas x = 2.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah menganggap d²y/dx² = 0 sebagai bukti lengkok balas.
Kerja yang salah: bagi y = x⁴, d²y/dx² = 12x² = 0 pada x = 0, jadi x = 0 ialah titik lengkok balas.
Pelajar menganggap terbitan kedua sifar sentiasa bermaksud lengkok balas.
Pembetulannya ialah menguji kecerunan.
Di sini dy/dx = 4x³. Pada x = −1 ia ialah −4 (negatif) dan pada x = 1 ia ialah 4 (positif), jadi kecerunan berubah daripada negatif kepada positif dan x = 0 ialah minimum. Lengkok balas pegun yang sebenar mempunyai tanda kecerunan yang sama pada kedua-dua belah.
Semak kendiri
Cuba soalan ini tanpa kalkulator, kemudian buka setiap jawapan.
1. Cari dan kelaskan titik pegun bagi y = x³ − 3x.
Tunjuk jawapan
dy/dx = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1), jadi x = 1 atau x = −1. d²y/dx² = 6x.
Pada x = 1: y = −2 dan d²y/dx² = 6 > 0, jadi (1, −2) ialah minimum.
Pada x = −1: y = 2 dan d²y/dx² = −6 < 0, jadi (−1, 2) ialah maksimum.
2. Bagi y = x⁴, tunjukkan bahawa x = 0 ialah minimum menggunakan kecerunan.
Tunjuk jawapan
dy/dx = 4x³. Pada x = −0.5 ia ialah −0.5, negatif. Pada x = 0.5 ia ialah 0.5, positif. Kecerunan berubah daripada negatif kepada positif, jadi x = 0 ialah minimum.
3. Bagi y = x³, terangkan mengapa (0, 0) bukan maksimum atau minimum.
Tunjuk jawapan
dy/dx = 3x², yang positif pada kedua-dua belah x = 0 dan sifar hanya pada x = 0. Kecerunan tidak berubah tanda, jadi (0, 0) ialah titik lengkok balas pegun.
Ke mana selepas ini
Setelah pengelasan kukuh, teruskan ke membina fungsi objektif daripada kekangan. Penjelajah struktur kuadratik membolehkan anda melihat hubungan titik pusingan kuadratik dengan terbitan keduanya.
Jika anda boleh membezakan tetapi masih tidak pasti ujian mana yang patut dipilih, guru yang ditugaskan dalam tuisyen Matematik Tambahan satu dengan satu boleh membincangkan pilihan itu bersama anda.