Untuk mencari titik pegun, bezakan, samakan dy/dx = 0, selesaikan untuk x, kemudian gantikan setiap x ke dalam persamaan asal untuk mendapat y. Jawapannya ialah sepasang koordinat, bukan hanya nilai x.
Kemahiran ini membuka titik pegun dan pengoptimuman dan diperlukan dalam setiap pelajaran seterusnya. Ia bergantung pada peraturan dalam teknik pembezaan.
Apakah yang menjadikan sesuatu titik pegun?
Terbitan dy/dx mengukur kecerunan lengkung. Apabila kecerunan sifar, tangen adalah mendatar dan lengkung seketika tidak menaik dan tidak menurun.
Bayangkan puncak bukit atau dasar lembah. Pada saat itu anda berjalan di tanah yang rata. Ketinggian di situ ialah apa yang akhirnya diminta oleh soalan pengoptimuman.
Cara mencarinya, langkah demi langkah
- Bezakan y terhadap x, dan tulis kuasa negatif atau pecahan dalam bentuk indeks dahulu jika perlu.
- Samakan dy/dx = 0 dan faktorkan atau selesaikan. Terbitan kubik ialah kuadratik, jadi pemfaktoran biasanya berjaya.
- Selesaikan semua nilai x. Terbitan kuadratik boleh memberi dua nilai.
- Gantikan setiap x ke dalam y, iaitu persamaan asal.
- Tulis setiap jawapan sebagai titik, seperti (1, 6).
Contoh berlangkah
Cari titik pegun bagi y = x³ − 6x² + 9x + 2.
Langkah 1, bezakan: dy/dx = 3x² − 12x + 9.
Langkah 2, samakan dengan sifar: 3x² − 12x + 9 = 0. Bahagi dengan 3 untuk mendapat x² − 4x + 3 = 0.
Langkah 3, selesaikan: (x − 1)(x − 3) = 0, jadi x = 1 atau x = 3.
Langkah 4, gantikan ke dalam y:
Apabila x = 1: y = 1 − 6 + 9 + 2 = 6.
Apabila x = 3: y = 27 − 54 + 27 + 2 = 2.
Langkah 5, jawapan: titik pegun ialah (1, 6) dan (3, 2).
Semakan pantas: kubik dengan sebutan x³ positif menaik, menurun, kemudian menaik semula. Maka titik pertama (1, 6) ialah puncak setempat dan titik kedua (3, 2) ialah lembah setempat, dan 6 > 2 sesuai dengan itu.
Kesilapan yang perlu diawasi
Kesilapan lazim ialah menggantikan nilai x ke dalam dy/dx, atau menetapkan y = 0 pada awal.
Kerja yang salah: x = 1 memberi 3(1) − 12 + 9 = 0, jadi titiknya (1, 0).
Pelajar menggunakan semula terbitan yang memang sifar, lalu menulisnya sebagai koordinat y.
Pembetulannya ialah mengingat apa yang diukur oleh setiap persamaan. Terbitan memberi kecerunan dan persamaan asal memberi ketinggian. Setelah dy/dx = 0 diselesaikan, setiap x dimasukkan semula ke dalam y.
Semak kendiri
Cuba soalan ini tanpa kalkulator, kemudian buka setiap jawapan.
1. Cari titik pegun bagi y = x² − 8x + 3.
Tunjuk jawapan
dy/dx = 2x − 8 = 0, jadi x = 4. Maka y = 16 − 32 + 3 = −13.
(4, −13)
2. Cari titik pegun bagi y = 2x³ − 3x² − 12x.
Tunjuk jawapan
dy/dx = 6x² − 6x − 12 = 6(x² − x − 2) = 6(x − 2)(x + 1), jadi x = 2 atau x = −1.
Apabila x = 2: y = 16 − 12 − 24 = −20. Apabila x = −1: y = −2 − 3 + 12 = 7.
(2, −20) dan (−1, 7)
3. Cari titik pegun bagi y = x + 4/x, dengan x ≠ 0.
Tunjuk jawapan
Tulis y = x + 4x⁻¹, jadi dy/dx = 1 − 4x⁻² = 1 − 4/x². Menyamakannya dengan sifar memberi x² = 4, jadi x = 2 atau x = −2.
Apabila x = 2: y = 2 + 2 = 4. Apabila x = −2: y = −2 − 2 = −4.
(2, 4) dan (−2, −4)
Ke mana selepas ini
Mencari titik hanyalah separuh kerja. Seterusnya, kelaskan kelakuan pegun dengan ujian yang sesuai untuk menentukan sama ada setiap satu ialah maksimum, minimum atau bukan kedua-duanya. Latihan kerja tanpa kalkulator membantu anda memastikan pengiraan penggantian tepat.
Sesetengah pelajar mengikuti setiap langkah di sini tetapi tersekat apabila terbitan bukan kuadratik yang kemas. Guru dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu dengan satu boleh melihat di langkah mana anda tersekat.