解释最优值的方法是：把驻点的值对照允许的定义域检查，再带着单位、用一句结合情境的话写出答案。如果驻点在定义域之外，最优值就在端点。
这一课结合了建立目标函数和检查端点，为驻点与最优化单元收尾。
现实问题中的“定义域”是什么意思？
在纯数学题里，定义域可能直接给出：0 ≤ x ≤ 5。
在应用题里，你要从情境中自己判断。长度为正，时间从零开始，墙有固定长度，卖出的件数是整数。
这些限制让一行代数变成真正的答案，而且往往决定最优值出现在哪里。
怎样一步步完成最优化题
- 根据情境写出定义域，用不等式表示，包括题目给出的任何限制。
- 求驻点的 x 值，检查它是否在定义域内。
- 如果在内，判断其类型；如果在外，比较端点。
- 计算最优值，并带上单位。
- 写一句话，说明变量、数值和单位。
例题
农夫用 60 m 围栏围羊圈的三条边，第四条边靠墙，而墙只有 25 m 长。求最大可能面积。
**第 1 步，设置：**两条边各为 x m，沿墙的边为 y m。约束是 2x + y = 60，所以 y = 60 − 2x，A = x(60 − 2x) = 60x − 2x²。
**第 2 步，定义域：**墙长 25 m，所以 y ≤ 25，即 60 − 2x ≤ 25，得 x ≥ 17.5。另外 y > 0 表示 x < 30。定义域是 17.5 ≤ x ≤ 30。
**第 3 步，驻点：**dA/dx = 60 − 4x = 0，得 x = 15。但 15 不在定义域内，所以不允许。
第 4 步，端点：
x = 17.5 时：A = 60(17.5) − 2(17.5)² = 1050 − 612.5 = 437.5。
x = 30 时：A = 1800 − 1800 = 0。
**第 5 步，结论：**最大面积是 437.5 m²，此时 x = 17.5 m，y = 25 m。
检验：17.5 × 25 = 437.5。农夫能做到的最多，就是用满整面墙。
要留意的错误
常见的失误是直接给出没有限制时的最优值，而没有对照定义域检验。
**错误答案：**最大面积是 450 m²，此时 x = 15 m。
学生微积分算对了，却忘了墙只有 25 m，而 x = 15 需要 y = 30 m。
纠正的办法是在写答案之前，把定义域单独写成一行。把驻点的值代回题目中的每一个条件，包括你没有用来建立函数的那些条件。
自我检测
不用计算器做下面的题，再打开答案。
1. 一个球在 t 秒后的高度是 h = 30t − 5t² 米，0 ≤ t ≤ 5。求最大高度及出现的时间。
显示答案
dh/dt = 30 − 10t = 0，得 t = 3，在定义域内。h = 90 − 45 = 45。二阶导数为 −10，所以是最大值。检查端点：h(0) = 0，h(5) = 150 − 125 = 25。
最大高度是 45 m，在 3 秒后达到。
2. 商店每日利润为 P = 40x − 2x² − 50 令吉，x 为卖出的件数，0 ≤ x ≤ 8。求最大利润。
显示答案
dP/dx = 40 − 4x = 0，得 x = 10，在 0 ≤ x ≤ 8 之外。比较端点：P(0) = −50，P(8) = 320 − 128 − 50 = 142。
最大利润是 RM142，卖出 8 件时取得。
3. 卖出 x 件（整数）的利润是 P = −x² + 7x − 3 令吉。求使利润最大的整数 x 及该利润。
显示答案
dP/dx = −2x + 7 = 0，得 x = 3.5，不是整数。比较最接近的整数：P(3) = −9 + 21 − 3 = 9，P(4) = −16 + 28 − 3 = 9。
卖出 3 件或 4 件，利润都是最大值 RM9。
接下来学什么
把整个单元用在综合练习上。免计算器演算训练器和二次函数结构探索器提供了检验运算的额外方式。
如果一道同时涉及设置、微积分和定义域的题，仍然让你觉得一下子步骤太多，一对一线上附加数学补习能让老师和你一起把它拆成几个部分。