反射（reflection）需要**“反射”一词和镜线**。旋转（rotation）需要**“旋转”一词、角度加方向，以及中心**。缺少其中任何一项，描述都不完整。
这节课接在用列向量描述平移之后，并建立在认识图像反射的效果之上。
每种变换需要写什么？
| 变换 | 必须写明 |
|---|---|
| 平移 | “平移”一词和列向量 |
| 反射 | “反射”一词和镜线的方程 |
| 旋转 | “旋转”一词、角度、顺时针或逆时针，以及中心 |
反射把图形沿一条线翻过去，每个点在镜线后面的距离，等于它的物体在镜线前面的距离。旋转把图形绕一个固定点转动，每个点与该中心的距离保持不变。
怎样从图中找出细节？
- 对应一个点：把物体上的一个点与它的像对应起来。
- 反射的话，找出这两点的中点。镜线经过它，并与连接两点的线垂直。
- 旋转的话，检查转动：比较从中心到物体的方向和到像的方向。
- 写出完整描述，包含每一项必需的细节。
例题详解
三角形 ABC 的顶点为 A(1, 2)、B(4, 2)、C(4, 5)。它的像为 A′(5, 2)、B′(2, 2)、C′(2, 5)。完整描述这个变换。
第一步，是哪一种？ 像的大小不变，但左右翻转：A 在 B 的左边，A′ 却在 B′ 的右边。这指向反射。
第二步，中点： A 和 A′ 得 ((1 + 5) ÷ 2, 2) = (3, 2)。B 和 B′ 得 ((4 + 2) ÷ 2, 2) = (3, 2)。C 和 C′ 得 (3, (5 + 5) ÷ 2) = (3, 5)。
第三步，直线： 所有中点的 x = 3，所以镜线是竖直线。
答案： 以直线 x = 3 为镜线的反射。
检查： A 到直线的距离是 3 − 1 = 2，A′ 在另一侧距离 5 − 3 = 2。正确。
要留意的错误
旋转常见两种失误：一是漏写中心，二是转错方向。
错误答案： P(3, 1) 绕原点逆时针旋转 90°，学生把像写成 (1, −3)。
这用的是顺时针旋转的规则。
绕原点逆时针旋转 90°，把 (x, y) 映射到 (−y, x)。所以 P(3, 1) 变成 P′(−1, 3)。
快速的合理性检查：P 在第一象限，逆时针转四分之一圈后进入第二象限，那里 x 为负、y 为正。错误的 (1, −3) 则在第四象限。
自我检测
先试做，再打开答案核对。
1. 把点 P(2, 5) 关于直线 y = 1 反射，求它的像。
查看答案
P 在直线上方 5 − 1 = 4，所以像在直线下方 4：1 − 4 = −3。x 值保持 2。
P′ = (2, −3)
2. 把点 (3, −2) 绕原点旋转 180°。
查看答案
转半圈会让两个符号都改变：(x, y) 变成 (−x, −y)。
(−3, 2)
3. 把 (2, 0) 绕原点顺时针旋转 90°。
查看答案
顺时针 90° 把 (x, y) 映射到 (y, −x)。所以 (2, 0) 变成 (0, −2)。
(0, −2)
检查：从正 x 轴顺时针转四分之一圈，会落在负 y 轴上。
下一步
试试向量与变换练习题组，其中变换和向量混合出题。要了解位置背后的记法，请读位置向量与位移向量。无计算器运算训练能帮你练习带正负号的运算。
当描述差不多正确，却总是少一个细节时，我们的老师可以在数学线上一对一补习中和你一起建立检查的习惯。