这套练习共有 11 道原创题，涵盖向量与变换中的技能，由易到难排列。打开答案之前，先在纸上写出每一步，除非要检查，否则不要使用计算器。
坐标写成 P(3, −1)，列向量写成 (3, −1)，上面的数在前。如需复习记法，请看用列向量描述平移。
怎样使用这套练习？
先不看答案，独立完成第 1 至 4 题，它们检查记法和符号。再做第 5 至 8 题，考查向量路径和线段上的比。最后做第 9 至 11 题，考查反射与旋转的完整描述。
每做完一题，先用题目后面的检查方法自己核对一遍，再打开答案。如果你的答案和解答不同，不要只改数字，要找出是哪一步的符号、顺序或份数出了问题。
题目
1. 点 P(3, −2) 按向量 (−5, 4) 平移。求 P 的像。
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x：3 + (−5) = −2。y：−2 + 4 = 2。
P′ = (−2, 2)
检查：像减物体 = (−2 − 3, 2 − (−2)) = (−5, 4)。正确。
2. 一个平移把 A(−1, 4) 映射到 A′(6, −2)。写出它的列向量。
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x：6 − (−1) = 7。y：−2 − 4 = −6。
向量 (7, −6)。
检查：−1 + 7 = 6，4 + (−6) = −2。
3. a = (2, −3)，b = (−4, 1)。求 a + b。
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上：2 + (−4) = −2。下：−3 + 1 = −2。
a + b = (−2, −2)
4. 仍用上面的 a 和 b，求 2a − b。
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2a = (4, −6)。减去 b：(4 − (−4), −6 − 1) = (8, −7)。
2a − b = (8, −7)
5. AB = (3, 4)，BC = (−7, 2)。(a) 求 AC。(b) 求 AB 的长度。
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(a) AC = AB + BC = (3 + (−7), 4 + 2) = (−4, 6)。
(b) AB 的长度 = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。
6. OA = (3, −1)，OB = (−2, 5)。(a) 求 AB。(b) 求 AB 中点 M 的位置向量。
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(a) AB = OB − OA = (−2 − 3, 5 − (−1)) = (−5, 6)。
(b) OM = OA + ½AB = (3 + (−2.5), −1 + 3) = (0.5, 2)。
检查：把两个位置向量之和除以 2：(3 + (−2), −1 + 5) ÷ 2 = (1, 4) ÷ 2 = (0.5, 2)。
7. A(−3, 2)，B(5, −6)。P 在 AB 上，AP:PB = 1:3。求 P 的坐标。
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AB = (5 − (−3), −6 − 2) = (8, −8)。总份数 = 1 + 3 = 4，所以 AP = ¼AB = (2, −2)。
P = (−3 + 2, 2 + (−2)) = (−1, 0)。
检查：PB = (5 − (−1), −6 − 0) = (6, −6)，是 AP = (2, −2) 的三倍。正确。
8. A(1, −4)，B(11, 6)。P 在 AB 上，AP:PB = 3:2。求 P 的坐标。
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AB = (10, 10)。总份数 = 5，所以 AP = ⅗AB = (6, 6)。
P = (1 + 6, −4 + 6) = (7, 2)。
检查：PB = (11 − 7, 6 − 2) = (4, 4)。AP = (6, 6) 是 3 份，每份 (2, 2)，PB 是 2 份。正确。
9. (a) 把 (−3, 4) 关于直线 x = 1 反射。(b) 把 (2, 5) 关于直线 y = x 反射。
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(a) (−3, 4) 在直线左边 1 − (−3) = 4。像在右边 4：1 + 4 = 5。y 值保持 4。(5, 4)。
(b) 关于 y = x 反射会交换两个坐标：(5, 2)。
10. 把 (−2, 3) 绕原点逆时针旋转 90°。
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逆时针 90° 把 (x, y) 映射到 (−y, x)。所以 (−2, 3) 变成 (−3, −2)。
(−3, −2)
检查：两点到原点的距离都是 √13，而且点从第二象限转到第三象限，是逆时针方向。
11. 点 P(3, 4) 经 180° 旋转后映射到 P′(−1, −2)。求旋转中心，并完整描述这个变换。
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转半圈时，中心就是 P 与 P′ 的中点：((3 + (−1)) ÷ 2, (4 + (−2)) ÷ 2) = (1, 1)。
绕点 (1, 1) 旋转 180°。
检查：像 = 2 × 中心 − 点 = (2 − 3, 2 − 4) = (−1, −2)。正确。半圈不需要写方向。
如果做错了
| 哪里出错 | 前往 |
|---|---|
| 像或向量的符号错了（第 1 至 2 题） | 用列向量描述平移 |
| 向量相加或反向出错（第 3 至 5 题） | 在图上相加位移向量 |
| 比的点错了，常把三分之一当成二分之一（第 7 至 8 题） | 用向量比求点 |
| 反射或旋转错了或不完整（第 9 至 11 题） | 完整描述反射或旋转 |
| 混淆了 OA、OB 和 AB（第 6 题） | 区分位置向量与位移向量 |
把每个失误记进错题记录与重测队列，几天后再做一道新的同类题。无计算器运算训练提供额外的运算练习。
如果某一类错误反复出现，我们的老师可以在数学线上一对一补习中和你一起找出原因。