要找出把线段按比例分割的点，先把比变成整个向量的分数，再把这一段加到起点上。关键的一步是把比的各部分加起来得到总份数。
这节课建立在相加位移向量之上，也与坐标几何中的求中点和线段长度相连。
为什么分数不是比里的那个数？
比 AP:PB = 1:2 比较的是两个部分。整条线段 AB 有 1 + 2 = 3 份。AP 占这 3 份中的 1 份，所以 AP = ⅓AB。
如果 AP:PB = 3:1，总共是 4 份，AP = ¾AB。分数的分子永远是第一部分，分母永远是各部分的总和。
怎样一步一步求点？
- 求 AB：终点减起点，上面和下面的数分别计算。
- 把比的各部分相加，得到总份数。
- 把 AP 写成 AB 的分数，用它去乘 AB 的两个数。
- 把 AP 加到 A 上，得到 P 的位置。
- 检查 P 是否在 A 和 B 之间，以及 AP 与 PB 的比是否就是题目给的比。
例题详解
A(−2, 1)，B(10, −8)。点 P 在 AB 上，AP:PB = 1:2。求 P 的坐标。
第一步，向量 AB： (10 − (−2), −8 − 1) = (12, −9)。
第二步，总份数： 1 + 2 = 3，所以 AP = ⅓AB。
第三步，向量 AP： ⅓ × (12, −9) = (4, −3)。
第四步，P 的位置： x = −2 + 4 = 2，y = 1 + (−3) = −2。
答案： P(2, −2)。
检查： PB = B − P = (10 − 2, −8 − (−2)) = (8, −6)。这是 AP = (4, −3) 的两倍，所以 AP:PB = 1:2。正确。
要留意的错误
常见的错误是把比里的数当成分数：以为 AP:PB = 1:2 就表示 AP = ½AB。
错误答案： AP = ½ × (12, −9) = (6, −4.5)，所以 P = (4, −3.5)。
学生忘了整体是 3 份，而不是 2 份。
AB 的一半会使 AP 等于 PB，比就成了 1:1。改正方法是先写出总数：把各部分相加，再用这个数当分母。
这里检查也会失败，因为 PB = (6, −4.5) 与 AP 相等，而不是 AP 的两倍。
自我检测
先试做，再打开答案核对。
1. A(0, 3)，B(10, −7)。P 在 AB 上，AP:PB = 2:3。求 P。
查看答案
AB = (10, −10)。总份数 = 5，所以 AP = ⅖AB = (4, −4)。
P = (0 + 4, 3 + (−4)) = (4, −1)。
检查：PB = (6, −6)，是 3 份，而 AP 是 2 份，每份大小为 (2, −2)。
2. 求 A(−4, 6) 与 B(8, 2) 的中点。
查看答案
AB = (12, −4)。一半是 (6, −2)。中点 = (−4 + 6, 6 + (−2)) = (2, 4)。
3. A(4, −2)，B(−8, 10)。P 在 AB 上，AP:PB = 1:3。求 P。
查看答案
AB = (−12, 12)。总份数 = 4，所以 AP = ¼AB = (−3, 3)。
P = (4 + (−3), −2 + 3) = (1, 1)。
下一步
下一课区分位置向量与位移向量会解释从原点出发的向量 OA。之后可以尝试向量与变换练习题组。无计算器运算训练能帮你处理向量的分数。
如果向量的分数让你慢下来，我们的老师可以在数学线上一对一补习中为你拆解结构。